Bài 1: Căn bậc hai

bài 1 : a) \(\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}\) = \(\left|2-\sqrt{3}\right|\) = \(2-\sqrt{3}\)

b) \(\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}+\sqrt{2}\) = \(\left|\sqrt{3}-\sqrt{2}\right|+\sqrt{2}\) = \(\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}\) = \(\sqrt{3}\)

c) \(3\sqrt{5}-\sqrt{\left(1-\sqrt{5}\right)^2}\) = \(3\sqrt{5}-\left|1-\sqrt{5}\right|\) vì \(1-\sqrt{5}< 0\) nên

= \(3\sqrt{5}-\left(\sqrt{5}-1\right)\) = \(3\sqrt{5}-\sqrt{5}+1\) = \(2\sqrt{5}+1\)

bài 2 : a) \(\sqrt{2x+7}\) được xác định \(\Leftrightarrow\) \(2x+7\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(2x\ge-7\) \(\Leftrightarrow\) \(x\ge\dfrac{-7}{2}\)

b) \(\sqrt{-3x+4}\) được xác định \(\Leftrightarrow\) \(-3x+4\ge0\) \(\Leftrightarrow\) \(-3x\ge-4\)

\(x\le\dfrac{4}{3}\)

bài 3 : a) ta có : \(4=\sqrt{16}>\sqrt{15}\) (16 > 15 ) vậy \(4>\sqrt{15}\)

b) ta có : \(2=\sqrt{4}< \sqrt{5}\) ( 4 < 5 ) vậy \(2< \sqrt{5}\)

ta có : \(2=\sqrt{4}\) vậy \(2=\sqrt{4}\)

ta có :\(3=\sqrt{9}< \sqrt{11}\) ( 11 > 9 ) vậy \(\sqrt{11}>3\)

bài 1 :

a, \(\sqrt{(2-\sqrt{3})}=\left|2-\sqrt{3}\right|=2-\sqrt{3}\)

b\(\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})}^2+\sqrt{2}=\left|\sqrt{3}-\sqrt{2}\right|+\sqrt{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}=\sqrt{3}\)

Mình làm 1 cái, cái còn lại b làm tương tự

Ta có:

\(2^2\equiv1mod\left(3\right)\Rightarrow2^{2n}\equiv1mod\left(3\right)\Rightarrow2^{2n+1}\equiv2mod\left(3\right)\)

\(\Rightarrow2^{2n+1}=3t+2\)

Ta lại có:

\(2^3\equiv1mod\left(7\right)\Rightarrow2^{3t}\equiv1mod\left(7\right)\Rightarrow2^{3t+2}\equiv4mod\left(7\right)\)

\(\Rightarrow2^{3t+2}+3\equiv0mod\left(7\right)\)

\(\Rightarrow2^{2^{2n+1}}+3\equiv0mod\left(7\right)\)

Mà ta có:

\(2^{2^{2n+1}}+3>2^{2^{2.0+1}}+3=7\)

Vậy số đó là hợp số.

hạ sách nhân liên hợp =))

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}-\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}=2017\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}-4068290-\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+4066273=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}-4068290\right)-\left(\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}-4066273\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+4x^3+8x^2+8x+4-4068290^2}{\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}+4068290}-\dfrac{x^4+2x^3+3x^2+2x+1-4066273^2}{\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+4066273}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+4x^3+8x^2+8x-16550983524096}{\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}+4068290}-\dfrac{x^4+2x^3+3x^2+2x-16534576110528}{\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+4066273}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-2016\right)\left(x+2018\right)\left(x^2+2x+4068292\right)}{\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}+4068290}-\dfrac{\left(x-2016\right)\left(x+2017\right)\left(x^2+x+4066274\right)}{\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+4066273}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2016\right)\left(\dfrac{\left(x+2018\right)\left(x^2+2x+4068292\right)}{\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}+4068290}-\dfrac{\left(x+2017\right)\left(x^2+x+4066274\right)}{\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+4066273}\right)=0\)

Dễ thấy: \(\dfrac{\left(x+2018\right)\left(x^2+2x+4068292\right)}{\sqrt{x^4+4x^3+8x^2+8x+4}+4068290}-\dfrac{\left(x+2017\right)\left(x^2+x+4066274\right)}{\sqrt{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+4066273}>0\)

Nên \(x-2016=0\Rightarrow x=2016\)

Phương pháp dành cho thường dân. Chống chỉ định những người không phải thường dân xem.

\(\sqrt{\left(x^2+2x\right)^2+4\left(x+1\right)^2}-\sqrt{x^2+\left(x+1\right)^2+\left(x^2+x\right)^2}=2017\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2x\right)^2+4x^2+8x+4}-\sqrt{\left(x^2+x\right)^2+2x^2+2x+1}=2017\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2x\right)^2+4\left(x^2+2x\right)+4}-\sqrt{\left(x^2+x\right)^2+2\left(x^2+x\right)+1}=2017\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2x+2\right)^2}-\sqrt{\left(x^2+x+1\right)^2}=2017\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+2-x^2-x-1=2017\)

\(\Leftrightarrow x=2016\)

Còn cách nữa :v

nhập nguyên cái hổ lốn đấy vào máy tính

rồi SHIFT CALC :V

đảm bảo nhanh hơn cách trên :v

P/s : đã đc khoa học c/m :v

\(\left(a+10\right)+\left(a^2+10a\right)^2+2\left(a+10\right)^2=0\)

Có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2+10a\right)^2\ge0\forall a\\2\left(a+10\right)^2\ge0\forall a\end{matrix}\right.\)

Để bt = 0 => \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a^2+10a\right)^2=0\\2\left(a+10\right)^2=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=-10\)

Thay a = -10 vào a + 10 có: -10 + 10 = 0

(tm)

Vậy a = -10

còn 1 nghiệm nữa mà

\(\dfrac{2\sqrt{x}+x+1}{\sqrt{x}}=2+\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge2+2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}}=2+2\sqrt{1}=4\)Dấu = xảy ra khi x=1

\(\dfrac{x}{x-2}+\sqrt{x-2}\)

Mỗi căn thức có nghĩa :

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2>0\\x-2\ge0\end{matrix}\right.\)

Vì mẫu số không thể bằng 0.

=> Điều kiện chung : \(x-2>0\Rightarrow x>2\)

Điều kiện xác định: x \(\ne\) 2

Để căn thức có nghĩa thì x - 2 > 0 hay x > 2

Vậy nếu x \(\ne\) 2 và x >2 thì căn thức đc xđ :v

Mình làm đại á. Chúc bạn học tốt :v

đk biểu thức trong căn là không âm (với phân số thì kết hợp thêm mẫu khác 0), vậy thôi chứ không khó đâu

\(A=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{4\left(\sqrt{x}+1\right)+x-4\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+1}\)

\(=4+\dfrac{x-4\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+1}=4+\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\sqrt{x}+1}\ge4\)

Dấu = xảy ra khi \(x=4\)

Cách khác:

\(A=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}-2\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right).\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}}-2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 4

Cách khác:

\(A=\dfrac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x+1}\right)}{\sqrt{x+1}}+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\sqrt{x}-1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1+\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}-2\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+1\right).\dfrac{9}{\sqrt{x}+1}}-2=4\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 4

a/ \(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}=1+\dfrac{1}{2.2}+...+\dfrac{1}{n.n}\)

\(< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)

\(=1+1-\dfrac{1}{n}=2-\dfrac{1}{n}< 2\)

Câu b dùng quy nạp đi b