1. Tính:
\(F=\dfrac{\dfrac{x^3-x}{x+1}+\dfrac{2x-2}{1+\dfrac{x}{2}}}{\dfrac{x^3-3x^2}{x-3}-\dfrac{2x^2+8}{x+2}}\)
2. Tính giá trị của M khi x = 2017
\(G=\dfrac{\dfrac{x^4+1}{x^3-1}-x}{\dfrac{x}{x^2+x+1}-\dfrac{2}{x-1}}\)
Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức
Cho x2 - 4x + 1 = 0. Tính giá trị biểu thức A=\(\dfrac{x^4+x^2+1}{x^2}\) ( x khác 0)
TBR: x2 - 4x + 1 = 0
⇔ x2 - 4x + 4 = 3
⇔ ( x - 2 )2 = 3
⇔ x - 2 = +-\(\sqrt{3}\)
Xét với x = \(\sqrt{3}\):
\(\dfrac{x^4+x^2+1}{x^2}\) = \(\dfrac{9+3+1}{3}\) = \(\dfrac{13}{3}\)
Xét với x = -\(\sqrt{3}\) :
\(\dfrac{x^4+x^2+1}{x^2}\) = \(\dfrac{9+3+1}{3}\) = \(\dfrac{13}{3}\)
Vậy A = \(\dfrac{13}{3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cm\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\) khi \(a=b=c\)
Áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) cho 2 số dương ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\\\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\\\dfrac{a+c}{2}\ge\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo 3 vế ta có:
\(\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{a+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}b+\dfrac{1}{2}c+\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2}c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
\(a=b=c\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\a=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(a-c\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=2ab\\b^2+c^2=2bc\\a^2+c^2=2ac\end{matrix}\right.\)
Cộng theo 3 vế ta có:
\(a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2=2ab+2bc+2ac\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)
Ngược lại,khi \(a\ne b\ne c\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2>2ab\\b^2+c^2>2bc\\a^2+c^2>2ac\end{matrix}\right.\) ta có thể dễ dàng cm được \(a^2+b^2+c^2>ab+bc+ac\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho biểu thức P = \(\dfrac{2a^2}{a^2-1}+\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a}{a-1}\)
a) Tìm a để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
\(\text{a) }P=\dfrac{2a^2}{a^2-1}+\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a}{a-1}\\ \Rightarrow P=\dfrac{2a^2}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}+\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a}{a-1}\\ \Rightarrow P=\dfrac{2a^2}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}+\dfrac{a\left(a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}-\dfrac{a\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\\ \Rightarrow P=\dfrac{2a^2+a\left(a-1\right)-a\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\)
\(\Rightarrow\) Để \(P\) có nghĩa
\(\text{thì : }\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+1\right)\ne0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1\ne0\\a+1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne1\\a\ne-1\end{matrix}\right.\)
\(\text{ Ta có : }P=\dfrac{2a^2+a\left(a-1\right)-a\left(a+1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\\ \Rightarrow P=\dfrac{a\left[2a+\left(a-1\right)-\left(a+1\right)\right]}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\\ \Rightarrow P=\dfrac{a\left(2a+a-1-a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\\ \Rightarrow P=\dfrac{a\left(2a-2\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\\ \Rightarrow P=\dfrac{2a\left(a-1\right)}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\\ \Rightarrow P=\dfrac{2a}{a-1}\)
\(\text{c) Ta lại có : }P=\dfrac{2a}{a-1}\\ \Rightarrow P=\dfrac{2a-2+2}{a-1}\\\Rightarrow P=\dfrac{2\left(a-1\right)+2}{a-1}\\\Rightarrow P=\dfrac{2\left(a-1\right)}{a-1}+\dfrac{2}{a-1}\\\Rightarrow P=2+\dfrac{2}{a-1}\)
\(\Rightarrow\) Để \(P\in Z\)
\(\text{thì: }\Rightarrow\dfrac{2}{a-1}\in Z\\ \Rightarrow2⋮a-1\\ \Rightarrow a-1\inƯ_{\left(2\right)}\)
Mà \(Ư_{\left(2\right)}=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)
Ta được bảng giá trị:
|
\(a-1\) |
\(-1\) |
\(-2\) |
\(1\) |
\(2\) |
|
\(a\) |
\(0\) |
\(-1\) |
\(2\) |
\(3\) |
Vậy a) Để \(P\) có nghĩa thì \(\left\{{}\begin{matrix}a\ne1\\a\ne-1\end{matrix}\right.\)
b) \(P=\dfrac{2a}{a-1}\)
c) để \(P\in Z\) thì \(a=\left\{0;-1;2;3\right\}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
a) \(P\) có nghĩa \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+1\ne 0 \\ a-1\ne 0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matric} a\ne -1 \\ a\ne 1 \end{matrix} \right.\)
b) \(P=\dfrac{2a^2}{(a-1)(a+1)}+\dfrac a{a+1}-\dfrac a{a-1}\)
\(=\dfrac{2a^2+a(a-1)-a(a+1)}{(a-1)(a+1)}\)
\(=\dfrac{2a^2+a^2-a-a^2-a}{(a-1)(a+1)}\)
\(=\dfrac{2a^2-2a}{(a-1)(a+1)}\)
\(=\dfrac{2a(a-1)}{(a-1)(a+1)}\)
\(=\dfrac{2a}{a+1}\)
c) Ta có: \(P=\dfrac{2a}{a+1}=\dfrac{2(a+1)-2}{a+1}=2-\dfrac 2{a+1}\)
\(P\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \dfrac 2{a+1}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow a+1\in Ư(2)=\left\{ \pm 1;\pm 2 \right\}\Leftrightarrow x\in \left\{ -3;-2;0;1 \right\}\)
Kết hợp với ĐKXĐ \(\Rightarrow a\in \left\{-3;-2;0 \right\}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
a) P có nghĩa \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+1\ne0\\a-1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne-1\\a\ne1\end{matrix}\right.\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho ba số thực a,b,c \(\in\) R. Chứng minh rằng
\(\dfrac{\left(a-b\right)^5+\left(b-c\right)^5+\left(c-a\right)^5}{5}\) = \(\dfrac{\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3}{3}\cdot\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^2}{2}\)
cm:
\(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}\ge\dfrac{3}{2}\)
đề sai nha bn ; đề zầy (cm : \(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}\ge\dfrac{-3}{2}\) ) mới đúng
đặc : \(P=\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}\)
ta có : \(P=\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}\)
\(P=\dfrac{c}{a+b}+1+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{a+c}+1-3\)
\(P=\dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{a+c}-3\)
\(P=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)-3\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(2a+2b+2c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)-3\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)-3\)
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
ta có : \(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(a+c\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge\left(\sqrt{1}+\sqrt{1}+\sqrt{1}\right)\)
\(\Rightarrow\) \(P\ge\dfrac{1}{2}.\left(\sqrt{1}+\sqrt{1}+\sqrt{1}\right)-3=\dfrac{3}{2}-3=\dfrac{-3}{2}\)
vậy \(P=\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}\ge\dfrac{-3}{2}\) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (1)
Bổ sung thêm đk: a,b,c>0
Đặt \(P=\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}\)
\(\Leftrightarrow P+3=\left(\dfrac{c}{a+b}+1\right)+\left(\dfrac{a}{b+c}+1\right)+\left(\dfrac{b}{c+a}+1\right)\)
\(\Leftrightarrow P+3=\dfrac{c+a+b}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{b+c+a}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow P+3=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\)
\(\Leftrightarrow2P+6=\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\)Đặt \(\left(a+b;b+c;c+a\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)( x;y;z>0)
\(2P+6=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(2P+6=1+1+1+\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)\)
\(2P+3=\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(2P+3\ge2.\sqrt{\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{x}}+2.\sqrt{\dfrac{z}{x}.\dfrac{x}{z}}+2.\sqrt{\dfrac{y}{z}.\dfrac{z}{y}}=2+2+2=6\)
\(\Leftrightarrow2P\ge3\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{x}\\\dfrac{y}{z}=\dfrac{z}{y}\\\dfrac{x}{z}=\dfrac{z}{x}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=z\\z=x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=b+c\\b+c=c+a\\a+c=a+b\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=c\\a=b\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (0)
phải thêm điều kiện a, b, c > 0 nữa chứ nhỉ ?
+ \(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c}{a+b}+1+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{a+c}+1\ge3+\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b+c}{a+b}+\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{a+c}\ge\dfrac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\)
+ Áp dụng bđt \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\forall x,y,z>0\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z ta có :
\(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge9\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
* Cm bđt : \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)\ge9xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2+3xyz\ge9xyz\)
\(\Leftrightarrow x^2y-2xyz+yz^2+xy^2-2xyz+xz^2\)
\(+x^2z-2xyz+y^2z\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x-z\right)^2+x\left(y-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng \(\forall x,y,z>0\)
=> đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x, y, z\(\ne\)0 và x+y+z=0.Tính giá trị của biểu thức:
1/y2+z2-x2+1/x2+y2-z2+1/x2+z2-y2
Cho x, y, z\(\ne\)0 và 1/x-1/y-1/z=1 và x=y+z. Cm: 1/x+1/y+1/z=1
Cho phân thức :\(\dfrac{x^2-10x+25}{x^2-5x}\)
a) Tìm giá trị của x để phân thức bằng 0
b) Tìm giá trị của x để phân thức bằng \(\dfrac{5}{2}\)
c) Tìm x nguyên để phân thức có giá trị nguyên
Đặt A=\(\dfrac{x^2-10x+25}{x^2-5x}\)
=>A=\(\dfrac{\left(x-5\right)^2}{x\left(x-5\right)}\)
=>A=\(\dfrac{x-5}{x}\)
a) A=0 <=>\(\dfrac{x-5}{x}\)=0 <=>x-5=0 <=>x=5
b)A=\(\dfrac{5}{2}\) <=>\(\dfrac{x-5}{x}\)=\(\dfrac{5}{2}\) <=>5x=2x-10 <=>x=\(\dfrac{-10}{3}\)
c)để A nguyên
<=> \(\dfrac{x-5}{x}\)nguyên
<=>1-\(\dfrac{5}{x}\)nguyên
<=>5/x nguyên <=> x thuộc Ư(5) \(\in\)(-1,1,5,-5)
Đúng 0
Bình luận (0)
Điều kiện xác định của phân thứ là :
\(x^2-5x\ne0\Leftrightarrow x\left(x-5\right)\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\x\ne5\end{matrix}\right.\)
a, Để phân thức bằng 0
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-10x+25}{x^2-5x}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-10x+25=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-5\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x-5=0\)
\(\Leftrightarrow x=5\) ( ko thỏa mãn ĐKXĐ )
Vậy ko có giá trị của của x để phân thức bằng 0
b, Để phân thức bằng \(\dfrac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-10x+25}{x^2-5x}=\dfrac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-5\right)^2}{x\left(x-5\right)}=\dfrac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x-5}{x}=\dfrac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow x-5=\dfrac{5}{2}x\)
\(\Leftrightarrow x-\dfrac{5}{2}x=5\)
\(\Leftrightarrow-1,5x=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow x=-\dfrac{10}{3}\)
Vậy \(x=\dfrac{-10}{3}\) thì phân thức bằng \(\dfrac{5}{2}\)
c, \(\dfrac{x-5}{x}=\dfrac{x}{x}-\dfrac{5}{x}=1-\dfrac{5}{x}\)
Để phân thức có giá trị là số nguyên
\(\Leftrightarrow\dfrac{5}{x}\) là số nguyên
\(\Leftrightarrow5⋮x\Leftrightarrow x\inƯ\left(5\right)=\left\{1;-1;5;-5\right\}\)
Vậy \(x\in\left\{1;-1;-5\right\}\) thì phầ thức có giá trị là số nguyên x = 5 ( ko t/m ĐKXĐ của phân thức )
Đúng 0
Bình luận (0)
\(x^2-5x=x\left(x-5\right)\)
Để phân thức được xác định thì mẫu thức phải \(\ne0.\)
\(\Rightarrow x\ne0\) và \(x-5\ne0\)
\(\Rightarrow x\ne0\) và \(x\ne5\)
Vậy \(x\ne0\) và \(x\ne5\) thì phân thức \(\dfrac{x^2-10x+25}{x^2-5x}\) được xác định.
Rút gọn:
\(\dfrac{x^2-10x+25}{x^2-5x}=\dfrac{\left(x-5\right)^2}{x\left(x-5\right)}=\dfrac{x-5}{x}\)
a) Để phân thức có giá trị bằng \(0\) thì \(x-5=0\)
\(\Rightarrow x=5\) ( loại )
Vậy không có giá trị nào thỏa mãn để phân thức bằng \(0.\)
b)
Để \(\dfrac{x-5}{x}=\dfrac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x-10=5x\)
\(\Leftrightarrow3x=-10\)
\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{10}{3}\)
c)
- Để \(\dfrac{x-5}{x}>0\)
\(\Leftrightarrow x=-5\)
\(\Leftrightarrow x\inƯ\left(5\right)\)
\(\Leftrightarrow x\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\)
- \(x=\pm1\) ( nhận )
- \(x=-5\) ( nhận )
- \(x=5\) ( loại )
\(\Rightarrow x\in\left\{1;-1;-5\right\}\) thì phân thức nguyên.
Đúng 0
Bình luận (0)
cho phân thức: \(\dfrac{x+1}{x^2+x}\)
a)tìm điều kiện của x để giá trị cả phân thức được xác định.
b)tính giá trị của phân thức tại x=1000000 và tại x= -1
a) Điều kiện: \(x^2+x\ne0\)
\(\Rightarrow x\left(x+1\right)\ne0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\x+1\ne0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)
b) Xét \(x=-1\) Loại do không thỏa mãn điều kiện xác định
Xét \(x=1000000\)
\(\Rightarrow\dfrac{x+1}{x^2+x}=\dfrac{x+1}{\left(x+1\right)x}=\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{1000000}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
1) ĐKXĐ: \(x^2+x\ne0\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\ne0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ne0\\x\ne-1\end{matrix}\right.\)
2)
a) \(x=1000000\) ( thỏa mãn điều kiện )
Thay \(x=1000000\) vào biểu thức trên ta đc:
\(\dfrac{x+1}{x^2+x}=\dfrac{x+1}{x\left(x+1\right)}=\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{1000000}\)
Vậy giá trị của biểu thức trên tại \(x=1000000\) là \(\dfrac{1}{1000000}\)
b) \(x=-1\) ( không thỏa mãn điều kiện )
Đúng 0
Bình luận (0)