Nội dung lý thuyết
Ở các bài học trước, ta đã biết: Trong tập hợp các phân thức đại số, ta có các phép toán cộng, trừ, nhân, chia.
Xét các biểu thức sau: \(A=\dfrac{x+2}{x-4}+\dfrac{1}{x^2-4x}\), \(B=\dfrac{\dfrac{2}{x-1}+3}{\dfrac{1}{x^2-1}+\dfrac{1}{x}-1}\), \(\left(2x-7\right)\left(1-3x\right)\), \(\sqrt{2}x^3-6x+1\), \(-\dfrac{1}{4}\), \(\sqrt{6}\), 0.
Mỗi biểu thức trên là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức. Ta gọi những biểu thức như thế là những biểu thức hữu tỉ.
Ví dụ:
+) Biểu thức \(A=\dfrac{x+2}{x-4}+\dfrac{1}{x^2-4x}\) biểu thị phép cộng hai phân thức \(\dfrac{x+2}{x-4}\) và \(\dfrac{1}{x^2-4x}\).
+) Biểu thức \(B=\dfrac{\dfrac{2}{x-1}+3}{\dfrac{1}{x^2-1}+\dfrac{1}{x}-1}\) biểu thị phép chia tổng \(\dfrac{2}{x-1}+3\) cho tổng \(\dfrac{1}{x^2-1}+\dfrac{1}{x}-1\).
Nhờ các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đã học trong các bài trước, ta có thể biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức. Trong thực hành, ta thường thay yêu cầu "biến đổi biểu thức thành một phân thức" bởi nhiệm vụ: Rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1: Biến đổi biểu thức \(\dfrac{\dfrac{x^2-y^2}{x}}{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}}\) thành một phân thức.
Lời giải:
Ta có: \(\dfrac{\dfrac{x^2-y^2}{x}}{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}}=\dfrac{x^2-y^2}{x}:\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right)\)
\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{x}:\dfrac{y-x}{xy}\)\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{x}.\dfrac{xy}{y-x}\)
\(=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{x}.\dfrac{xy}{-\left(x-y\right)}=-y\left(x+y\right).\)
Ví dụ 2: Biến đổi biểu thức \(\dfrac{\dfrac{x^4+1}{x^3-1}-x}{\dfrac{x}{x^2+x+1}-\dfrac{2}{x-1}}\) thành một phân thức.
Lời giải:
Ta có: \(\dfrac{\dfrac{x^4+1}{x^3-1}-x}{\dfrac{x}{x^2+x+1}-\dfrac{2}{x-1}}=\left(\dfrac{x^4+1}{x^3-1}-x\right):\left(\dfrac{x}{x^2+x+1}-\dfrac{2}{x-1}\right)\)
\(=\dfrac{x^4+1-x\left(x^3-1\right)}{x^3-1}:\dfrac{x\left(x-1\right)-2\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\dfrac{x^4+1-x^4+x}{x^3-1}.\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x^2-x-2x^2-2x-2}\)
\(=\dfrac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}.\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{-x^2-3x-2}\)
\(=-\dfrac{x+1}{x^2+3x+2}=-\dfrac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=-\dfrac{1}{x+2}.\)
Khi làm tính trên các phân thức, ta chỉ việc thực hiện theo các quy tắc của các phép toán. Tuy nhiên, khi làm những bài toán liên quan đến giá trị của phân thức, trước tiên ta cần tìm điều kiện xác định của phân thức đó.
- Điều kiện xác định của phân thức là điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0.
- Trong một biểu thức hữu tỉ, điều kiện xác định của biểu thức là điều kiện để mỗi phân thức trong biểu thức được xác định.
Trong thực hành, ta có thể dùng "Điều kiện xác định của biểu thức" hay "Điều kiện để biểu thức có nghĩa" đều như nhau.
Ví dụ:
+) Phân thức \(\dfrac{2}{3x-5}\) xác định \(\Leftrightarrow3x-5\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{5}{3}.\)
+) Phân thức \(\dfrac{x-3}{x^2+x-2}\) xác định \(\Leftrightarrow x^2+x-2\ne0\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-1\right)\ne0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2\ne0\\x-1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne-2\\x\ne1\end{matrix}\right..\)
+) Biểu thức \(\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{3x-x^2}\right):\dfrac{x}{x-2}\) xác định \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\3x-x^2\ne0\\x-2\ne0\\\dfrac{x}{x-2}\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\x-2\ne0\\x\left(3-x\right)\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\x-2\ne0\\3-x\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\x\ne2\\x\ne3\end{matrix}\right..\)
Rút gọn (biến đổi) biểu thức hữu tỉ và các bài toán liên quan đến giá trị biểu thức là một trong những nội dung quan trọng, thường xuyên có trong các đề thi.
Một cách tổng quát, ta có các bước làm cho dạng toán này như sau:
- Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
- Bước 2: Rút gọn biểu thức (Phân tích các mẫu thức thành nhân tử để quy đồng mẫu thức, thực hiện các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức).
- Bước 3: Thực hiện các nhiệm vụ về giá trị biểu thức.
Lưu ý: Trong các bài toán làm việc với giá trị cụ thể của biến, ta cần so sánh giá trị đó với điều kiện xác định của biểu thức. Ta chỉ làm việc với các biến làm cho biểu thức được xác định.
Bài tập: Cho biểu thức \(A=\left(\dfrac{21}{x^2-9}-\dfrac{x-4}{3-x}-\dfrac{x-1}{3+x}\right):\left(1-\dfrac{1}{x+3}\right)\).
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
b) Rút gọn \(A\).
c) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x^2-4=0\).
Lời giải:
a) Điều kiện xác định: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-9\ne0\\3-x\ne0\\3+x\ne0\\1-\dfrac{1}{x+3}\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)\left(x+3\right)\ne0\\3-x\ne0\\3+x\ne0\\\dfrac{x+2}{x+3}\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3\ne0\\x+3\ne0\\x+2\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne3\\x\ne-3\\x\ne-2\end{matrix}\right..\)
b) Ta có: \(A=\left(\dfrac{21}{x^2-9}-\dfrac{x-4}{3-x}-\dfrac{x-1}{3+x}\right):\left(1-\dfrac{1}{x+3}\right)\)
\(=\left(\dfrac{21}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\dfrac{x-4}{x-3}-\dfrac{x-1}{x+3}\right):\dfrac{x+3-1}{x+3}\)
\(=\dfrac{21+\left(x-4\right)\left(x+3\right)-\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}:\dfrac{x+2}{x+3}\)
\(=\dfrac{21+x^2+3x-4x-12-x^2+3x+x-3}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}.\dfrac{x+3}{x+2}\)
\(=\dfrac{3x+6}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}.\dfrac{x+3}{x+2}=\dfrac{3\left(x+2\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}.\dfrac{x+3}{x+2}\)
\(=\dfrac{3}{x-3}.\)
Vậy \(A=\dfrac{3}{x-3}.\)
c) Ta có: \(x^2-4=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\left(L\right)\\x=2\left(TM\right)\end{matrix}\right.\).
Với \(x=2\) ta có: \(A=\dfrac{3}{2-3}=\dfrac{3}{-1}=-3.\)