Nội dung lý thuyết
Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.
Ví dụ:
+) \(\dfrac{x+2}{x^2-6}\) và \(\dfrac{x^2-6}{x+2}\) là hai phân thức nghịch đảo của nhau vì \(\dfrac{x+2}{x^2-6}.\dfrac{x^2-6}{x+2}=1\).
+) \(-\dfrac{3x^2}{2y}\) và \(-\dfrac{2y}{3x^2}\) là hai phân thức nghịch đảo của nhau vì \(\left(-\dfrac{3x^2}{2y}\right)\left(-\dfrac{2y}{3x^2}\right)=\dfrac{3x^2}{2y}.\dfrac{2y}{3x^2}=1.\)
+) \(\dfrac{1}{x-3}\) và \(x-3\) là hai phân thức nghịch đảo của nhau vì \(\dfrac{1}{x-3}.\left(x-3\right)=1.\)
Tổng quát: Nếu \(\dfrac{A}{B}\) là phân thức khác \(0\) thì \(\dfrac{A}{B}.\dfrac{B}{A}=1\), do đó:
\(\dfrac{A}{B}\) là phân thức nghịch đảo của phân thức \(\dfrac{B}{A}\);
\(\dfrac{B}{A}\) là phân thức nghịch đảo của phân thức \(\dfrac{A}{B}\).
Như vậy, thông thường, để tìm phân thức nghịch đảo của một phân thức nào đó, ta thường đổi chỗ tử và mẫu của phân thức đó.
Chú ý: Khi tìm phân thức nghịch đảo, cần chú ý dấu trừ của phân thức.
Tương tự quy tắc chia hai phân số, ta có quy tắc chia hai phân thức như sau:
Quy tắc: Muốn chia phân thức \(\dfrac{A}{B}\) cho phân thức \(\dfrac{C}{D}\) khác 0, ta nhân \(\dfrac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\dfrac{C}{D}\).
\(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C}\) với \(\dfrac{C}{D}\ne0\).
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:
a) \(\dfrac{3x+15}{x^2-4}:\dfrac{x+5}{x-2}\);
b) \(\dfrac{5\left(x+1\right)}{xy^2}:\dfrac{-10\left(x+1\right)}{3x^2y}\);
c) \(\dfrac{x^3+1}{x^2+2x+1}:\dfrac{3x^2-3x+3}{x^2-1}\);
d) \(\dfrac{5x^2+10xy}{x^2+2xy+4y^2}:\dfrac{x+2y}{x^3-8y^3}\).
Lời giải:
a) \(\dfrac{3x+15}{x^2-4}:\dfrac{x+5}{x-2}=\dfrac{3x+15}{x^2-4}.\dfrac{x-2}{x+5}=\dfrac{3\left(x+5\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}.\dfrac{x-2}{x+5}=\dfrac{3}{x+2}.\)
b) \(\dfrac{5\left(x+1\right)}{xy^2}:\dfrac{-10\left(x+1\right)}{3x^2y}=\dfrac{5\left(x+1\right)}{xy^2}.\dfrac{-3x^2y}{10\left(x+1\right)}=-\dfrac{3x}{2y}.\)
c) \(\dfrac{x^3+1}{x^2+2x+1}:\dfrac{3x^2-3x+3}{x^2-1}=\dfrac{x^3+1}{x^2+2x+1}.\dfrac{x^2-1}{3x^2-3x+3}\)
\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)^2}.\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{3\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{x-1}{3}.\)
d) \(\dfrac{5x^2+10xy}{x^2+2xy+4y^2}:\dfrac{x+2y}{x^3-8y^3}=\dfrac{5x^2+10xy}{x^2+2xy+4y^2}.\dfrac{x^3-8y^3}{x+2y}\)
\(=\dfrac{5x\left(x+2y\right)}{x^2+2xy+4y^2}.\dfrac{\left(x-2y\right)\left(x^2+2xy+4y^2\right)}{x+2y}=5x\left(x-2y\right).\)
Lưu ý: Phép chia thực chất là phép nhân với nghịch đảo, vì thế ta có thể áp dụng các tính chất của phép nhân khi làm bài tập, đồng thời cũng có thể thực hiện một dãy nhiều phép chia thay vì chỉ một phép chia hai phân thức.
Ví dụ 2: Thực hiện các phép tính sau:
a) \(\dfrac{x+3}{x^2-1}:\dfrac{x+4}{x^2+6x}-\dfrac{x+3}{x^2-1}:\dfrac{x+4}{x-4}\);
b) \(\dfrac{x^2+5x+6}{x^2-4}:\dfrac{x^2+x+1}{x-1}:\dfrac{x^3-1}{x+2}\).
Lời giải:
a) \(\dfrac{x+3}{x^2-1}:\dfrac{x+4}{x^2+6x}-\dfrac{x+3}{x^2-1}:\dfrac{x+4}{x-4}\)
\(=\dfrac{x+3}{x^2-1}.\dfrac{x^2+6x}{x+4}-\dfrac{x+3}{x^2-1}.\dfrac{x-4}{x+4}\)
\(=\dfrac{x+3}{x^2-1}\left(\dfrac{x^2+6x}{x+4}-\dfrac{x-4}{x+4}\right)\)
\(=\dfrac{x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\dfrac{x^2+5x+4}{x+4}\)
\(=\dfrac{x+3}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+4\right)}{x+4}=\dfrac{x+3}{x-1}.\)
b) \(\dfrac{x^2+5x+6}{x^2-4}:\dfrac{x-1}{x^2+x+1}:\dfrac{x^3-1}{-x+2}\)
\(=\dfrac{x^2+5x+6}{x^2-4}.\dfrac{x^2+x+1}{x-1}.\dfrac{-x+2}{x^3-1}\)
\(=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}.\dfrac{x^2+x+1}{x-1}.\dfrac{-\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
\(=\dfrac{-\left(x+3\right)}{\left(x-1\right)^2}=-\dfrac{x+3}{\left(x-1\right)^2}.\)