Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

a.

\(y'=3x^2-3\)

\(y'=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)

Dấu của y':

Từ đó ta kết luận:

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\)

Hàm nghịch biến trên \(\left(-1;1\right)\)

b.

TXĐ: \(D=R\backslash\left\{-1\right\}\)

\(y'=\dfrac{2}{\left(x+1\right)^2}>0;\forall x\in D\)

\(\Rightarrow\) Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\)

c.

\(y'=4x^3-4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)

Dấu của y':

Từ đó ta kết luận:

- Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-1;0\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\)

- Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(0;1\right)\)

d.

TXĐ: \(D=R\backslash\left\{2\right\}\)

\(y'=\dfrac{\left(-2x+1\right)\left(x-2\right)-\left(-x^2+x-7\right)}{\left(x-2\right)^2}=\dfrac{-x^2+4x+5}{\left(x-2\right)^2}\)

\(y'=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=5\end{matrix}\right.\)

Bảng biến thiên:

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-1;2\right)\) và \(\left(2;5\right)\)

Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(5;+\infty\right)\)

Có:

`VT=\sqrt{2}(1/\sqrt{2}cos x-1/\sqrt{2}sin x)`

     `=\sqrt{2}cos(x+\pi/4)`

     `=VP`

 `=>Đpcm`

\(y'=3x^2\left(1-x\right)^2-2x^3\left(1-x\right)=5x^4-8x^3+3x^2\)

\(y'=3+\dfrac{mx}{\sqrt{x^2+1}}\ge0;\forall x\in R\)

Do \(-1< \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}< 1\) ; \(\forall x\in R\)

Đặt \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}=t\in\left(-1;1\right)\)

Xét \(f\left(t\right)=m.t+3\)

- Với \(m=0\Rightarrow f\left(t\right)=3>0;\forall t\) thỏa mãn

- Với \(m>0\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f\left(t\right)=mt+3\ge0;\) \(\forall t\in\left(-1;1\right)\)

\(\Rightarrow\min\limits_{\left(-1;1\right)}f\left(t\right)=f\left(-1\right)\ge0\Rightarrow-m+3\ge0\Rightarrow m\le3\)

- Với \(m< 0\Rightarrow f\left(t\right)\) nghịch biến 

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge0;\forall t\in\left(-1;1\right)\Leftrightarrow\min\limits_{\left(-1;1\right)}f\left(t\right)=f\left(1\right)=m+3\ge0\Rightarrow m\ge-3\)

Kết hợp lại ta được \(-3\le m\le3\)

Bạn kiểm tra lại đề bài, chỗ ngoặc thứ hai: \(\left(2m^2-m^2-m\right)\)

\(y=\left|-2x^3+3mx-2\right|=\left|2x^3-3mx+2\right|\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=2x^3-3mx+2\)

\(y=\left|f\left(x\right)\right|\) đồng biến trên khoảng đã cho khi::

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)\ge0;\forall x>1\\f'\left(x\right)\ge0;\forall x>1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x\right)\ge0\\f\left(1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x>1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x^2-3m\ge0\\2-3m+2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\min\limits_{x>1}\left(2x^2\right)\\m\le\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le2\\m\le\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m\le\dfrac{4}{3}\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)\le0\\f'\left(x\right)\le0\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x>1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f'\left(x\right)\le0\\f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\) ;\(\forall x>1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x^2-3m\le0\\4-3m\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge\max\limits_{x>1}\left(2x^2\right)\\m\ge\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

Vậy \(m\le\dfrac{4}{3}\)

\(y'=2+acosx-b.sinx\)

Hàm luôn tăng khi \(y'\ge0;\forall a;b\)

\(\Leftrightarrow2+a.cosx-b.sinx\ge0\)

\(\Leftrightarrow b.sinx-a.cosx\le2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx-\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.cosx\le\dfrac{2}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x-\alpha\right)\le\dfrac{2}{\sqrt{a^2+b^2}}\) (trong đó\(sin\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\))

BĐT nói trên luôn đúng khi và chỉ khi \(\dfrac{2}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\le4\)

Tách ra đi em, ngợp quá

tách từng bài ra nha bn, dài quá ko ai làm đâu ạ

5.

\(y'=\dfrac{m^2-9}{\left(x+m\right)^2}\)

Hàm nghịch biến trên các khoảng xác định khi \(m^2-9< 0\)

\(\Rightarrow-3< m< 3\)

\(\Rightarrow S=\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\)

6.

\(y'=\dfrac{-m^2+4}{\left(x-m\right)^2}\)

Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}-m^2+4>0\\m\le-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2< m< 2\\m\le-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-2< m\le-1\)

Bạn kiểm tra lại tử số được không nhỉ? Chắc lớp 12 người ta sẽ ko cho kiểu \(x+m-x\) đâu

\(y'=3x^3-2\left(m+1\right)x+2m+5\)

Hàm đồng biến trên R khi \(y'\ge0;\forall m\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2-3\left(2m+5\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m-14\le0\)

\(\Rightarrow2-3\sqrt{2}\le m\le2+3\sqrt{2}\)