Bài 1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

\(y'=\dfrac{x^2+2mx-4m}{\left(x+m\right)^2}\)

Xét pt \(f\left(x\right)=x^2+2mx-4m=0\) với \(\Delta'=m^2+4m\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2+4m\le0\\-m< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-1< m\le0\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2+4m>0\\x_1< x_2\le1\\-m< 1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\f\left(1\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}=-m< 1\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\1-2m\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0< m\le\dfrac{1}{2}\)

Kết hợp lại ta được \(-1< m\le\dfrac{1}{2}\)

\(y'=6x^2-6\left(3m+1\right)x+6\left(2m^2+m\right)\)

Xét pt:

\(x^2-\left(3m+1\right)x+2m^2+m=0\) (dấu = xảy ra ko phải là nghiệm kép)

\(\Leftrightarrow x^2-mx-\left(2m+1\right)x+m\left(2m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-m\right)-\left(2m+1\right)\left(x-m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)\left(x-2m-1\right)=0\) (1)

TH1: \(2m+1>m\Rightarrow m>-1\)

\(\Rightarrow\) Hàm nghịch biến trên \(\left[m;2m+1\right]\)

Hàm nghịch  biến trên khoảng đã cho khi: \(\left(1;3\right)\subset\left[m;2m+1\right]\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le1\\2m+1\ge3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=1\) 

TH2: \(2m+1< m\Rightarrow m< -1\)

Hàm nghịch biến trên \(\left[2m+1;m\right]\)

Hàm nghịch biến trên \(\left(1;3\right)\) khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2m+1\le1\\m\ge3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn

Vậy \(m=1\)

Đặt \(\sqrt{x^2-6x+12}=t\ge\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)=6t+8-t^2\)

\(f'\left(t\right)=-2t+6=0\Rightarrow t=3\)

\(\Rightarrow M=f\left(3\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(t=3\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-6x+12}=3\)

\(\Rightarrow x^2-6x+3=0\)

Theo Viet ta có: \(x_1x_2=3\)

\(y'=\left(2x+3\right).f'\left(x^2+3x-m\right)\)

Hàm ĐB trên khoảng đã cho khi với mọi x thuộc \(\left(0;2\right)\) ta có \(y'\ge0\)

\(\Rightarrow f'\left(x^2+3x-m\right)\ge0\) (do \(2x+3>0;\forall x\in\left(0;2\right)\))

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+3x-m\le-3\\x^2+3x-m\ge1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\max\limits_{\left(0;2\right)}\left(x^2+3x+3\right)\\m\le\min\limits_{\left(0;2\right)}\left(x^2+3x-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge13\\m\le-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) có 18 giá trị nguyên của m

Đặt \(cotx=t\Rightarrow t\in\left(0;1\right)\)

Do \(cotx\) giảm trên \(\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right)\) nên hàm nghịch biến trên khoảng đã cho khi \(y=\dfrac{t}{t-m}\) đồng biến trên \(\left(0;1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m>0\\\left[{}\begin{matrix}m\le0\\m\ge1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< 0\)

Ta có: \(y'=g'\left(x\right)=\left(-2f\left(x\right)+2019\right)'=-2f'\left(x\right).\)

Từ bảng xét dấu của đạo hàm của hàm số \(y=f\left(x\right)\), ta suy ra bảng xét dấu của đạo hàm của hàm số \(y=g\left(x\right)=-2f\left(x\right)+2019\) như sau:

Vậy chọn B.

\(y'=x^2-2\left(m-1\right)x+2\left(m-1\right)\)

Hàm đồng biến trên R khi:

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-2\left(m-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-3\right)\le0\)

\(\Rightarrow3\le m\le1\)