Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số.

2. Sự biến thiên

- Xét chiều biến thiên của đồ thị hàm số:

         + Tính đạo hàm \(y'\) ;

         + Tìm các điểm tại đó đạo hàm \(y'\) bằng 0 hoặc không xác định ;

         + Xét dấu đạo hàm \(y'\) và suy ra chiều biến thiên của đồ thị hàm số.

- Tìm cực trị.

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và các tiệm cận (nếu có).

- Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

3. Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.

Chú ý:

+) Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì \(T\) thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục \(Ox\).

+) Nên tính thêm toạ độ một số điểm, đặc biệt là toạ độ giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ.

+) Nên lưu ý đến tính chẵn lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

II. KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC

1. Hàm số \(y=ax^3+bx^2+cx+d\left(a\ne0\right)\)

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=x^3+3x^2-4\).

Giải:

- Tập xác định: \(R\)

- Sự biến thiên:

     + Chiều biến thiên: \(y'=3x^2+6x=3x\left(x+2\right)\). \(y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=0\end{matrix}\right.\)

                  Trên các khoảng \(\left(-\infty;-2\right)\) và \(\left(0;+\infty\right)\), \(y'\) dương nên hàm số đồng biến.

                  Trên khoảng \(\left(-2;0\right)\), \(y'\) âm nên hàm số nghịch biến.

      + Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\), \(y_{CĐ}=y\left(-2\right)=0\)

                      Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\), \(y_{CT}=y\left(0\right)=-4\).

      + Các giới hạn tại vô cực:

                     \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^3}\right)=-\infty\)

                      \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left(1+\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^3}\right)=+\infty\)

       + Bảng biến thiên:

- Đồ thị:

Ta có \(\left(-2;0\right)\) và \(\left(1;0\right)\) là các giao điểm của đồ thị với trục \(Ox\) ; \(\left(0;-4\right)\) là giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\). 

Lưu ý: Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm \(I\left(-1;-2\right)\) (hoành độ của tâm đối xứng đó là nghiệm của phương trình \(y''=0\)).

Dạng của đồ thị hàm số bấc ba \(y=ax^3+bx^2+cx+d\left(a\ne0\right)\)

2. Hàm số \(y=ax^4+bx^2+c\left(a\ne0\right)\)

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=x^4-2x^2-3\).

Giải:

- Tập xác định: \(R\)

- Sự biến thiên:

      Chiều biến thiên: \(y'=4x^3-4x=4x\left(x^2-1\right)\) ; \(y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=1\\x=0\end{matrix}\right.\)

              Trên các khoảng \(\left(-1;0\right)\) và \(\left(1;+\infty\right)\), \(y'>0\) nên hàm số đồng biến.

              Trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(0;1\right)\), \(y'< 0\) nên hàm số nghịch biến.

      Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\) và \(x=-1\), \(y_{CT}=y\left(\pm1\right)=-4\) ;

                   Hàm số đạt cực đại tại \(x=0\), \(y_{CĐ}=y\left(0\right)=-3\).

      Giới hạn tại vô cực:

                  \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^4\left(1-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{3}{x^4}\right)=+\infty\)

                   \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^4\left(1-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{3}{x^4}\right)=+\infty\)

       Bảng biến thiên:

- Đồ thị: Hàm số đã cho là hàm chẵn nên đồ thị nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng

             Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm \(\left(\sqrt{3};0\right)\) và \(\left(-\sqrt{3};0\right)\), cắt trục tung tại điểm \(\left(0;-3\right)\).

Dạng của đồ thị hàm số \(y=ax^4+bx^2+c\left(a\ne0\right)\)

3. Hàm số \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\left(c\ne0,ad-bc\ne0\right)\)

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=\dfrac{-x+2}{x+1}\).

Giải:

- Tập xác định: \(R\backslash\left\{-1\right\}\)

- Sự biến thiên:

       Chiều biến thiên: \(y'=-\dfrac{3}{\left(x+1\right)^2}\) 

                 \(y'\) không xác định tại \(x=-1\), luôn âm với mọi \(x\ne-1\)

      Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right)\) và \(\left(-1;+\infty\right)\)

      Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị

      Tiệm cận: \(\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}y=\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}\dfrac{-x+2}{x+1}=-\infty\), \(\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}y=\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{-x+2}{x+1}=+\infty\)

                         Do đó đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng.

                        \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}y=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{-x+2}{x+1}=-1\)

                         Do đó đường thẳng \(y=-1\) là tiệm cận  ngang

       Bảng biến thiên:

 - Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(\left(0;2\right)\) và cắt trục hoành tại điểm \(\left(2;0\right)\)

 Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.

Dạng của đồ thị \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\left(c\ne0,ad-bc\ne0\right)\)

III. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đồ thị \(\left(C_1\right)\) và hàm số \(y=g\left(x\right)\) có đồ thị \(\left(C_2\right)\). Để tìm hoành độ giao điểm của \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) ta giải phương trình \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\). Giả sử phương trình trên có các nghiệm là \(x_0,x_1,...\) Khi đó các giao điểm của \(\left(C_1\right)\) và \(\left(C_2\right)\) là \(M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)\), \(M_1\left(x_1;f\left(x_1\right)\right)\), ...

Ví dụ 4: 

  a) Vẽ đồ thị hàm số \(y=x^3+3x^2-2\) ;

  b) Sử dụng đồ thị, biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình \(x^3+3x^2-2=m\).

Giải:

a) \(y'=3x^2+6x;y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)

   Đồ thị có điểm cực đại là \(\left(-2;2\right)\) và điểm cực tiểu là \(\left(0;-2\right)\)

b) Số nghiệm của phương trình \(x^3+3x^2-2=m\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^3+3x^2-2\) và đường thẳng \(y=m\).

Dựa vào đồ thị ta có:

   \(m>2\): Phương trình \(x^3+3x^2-2=m\) có một nghiệm ;

   \(m=2\): Phương trình \(x^3+3x^2-2=m\) có hai nghiệm ;

   \(-2< m< 2\): Phương trình \(x^3+3x^2-2=m\) có ba nghiệm ;

   \(m=-2\): Phương trình \(x^3+3x^2-2=m\) có hai nghiệm ;

   \(m< -2\): Phương trình \(x^3+3x^2-2=m\) có một nghiệm.