ILoveMath

Tìm a, b, c để \(ax^3+bx^2+c⋮x+2\) và chia \(x^2-1\) dư \(x+5\)

Phía sau một cô gái
4 tháng 1 2022 lúc 22:08

Đặt \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+c\) ; áp dụng định lý Bơ - du ta có:

\(f\left(-2\right)=-8a+4b+c=0\)                \(\left(1\right)\)

Mặt khác theo định lý cơ bản thì tồn tại đa thức \(Q\left(x\right)\) đã cho:

\(ax^3+bx^2+c=\left(x^2-1\right)Q\left(x\right)+x+5\)

Cho x = 1 ta được:  \(a+b+c=6\)       \(\left(2\right)\)

Cho x = - 1 ta được:    \(-a+b+c=4\)      \(\left(3\right)\)

Kết hợp \(\left(1\right)\) ; \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) ta được:  \(\left\{{}\begin{matrix}-8a+4b+c=0\\-a+b+c=4\\a+b+c=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=4\end{matrix}\right.\)

 

Bình luận (1)
Nguyễn Thị Ngọc Anh
4 tháng 1 2022 lúc 22:01

f(x)=ax3+bx2+cf(x)=ax3+bx2+c

f(x) chia hết cho x - 2 ⇒f(x)=(x−2).g(x)⇒f(2)=a.23+b.22+c=(2−2).g(2)=0⇒f(x)=(x−2).g(x)⇒f(2)=a.23+b.22+c=(2−2).g(2)=0

⇒8a+4b+c=0 (1)⇒8a+4b+c=0 (1)

f(x) chia x2 - 1 dư x + 5 ⇒f(x)=(x2−1).h(x)+x+5⇒f(x)=(x2−1).h(x)+x+5

f(1)=a+b+c=(12−1).h(1)+1+5=6 f(1)=a+b+c=(12−1).h(1)+1+5=6 

⇒a+b+c=6 (2)⇒a+b+c=6 (2)

f(−1)=−a+b+c=[(−1)2−1].h(−1)−1+5=4f(−1)=−a+b+c=[(−1)2−1].h(−1)−1+5=4

⇒−a+b+c=4 (3)⇒−a+b+c=4 (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra a=1;b=−133;c=283a=1;b=−133;c=283

Vậy f(x)=x3−133x2+283

f(x)=ax3+bx2+cf(x)=ax3+bx2+c

f(x) chia hết cho x - 2 ⇒f(x)=(x−2).g(x)⇒f(2)=a.23+b.22+c=(2−2).g(2)=0⇒f(x)=(x−2).g(x)⇒f(2)=a.23+b.22+c=(2−2).g(2)=0

⇒8a+4b+c=0 (1)⇒8a+4b+c=0 (1)

f(x) chia x2 - 1 dư x + 5 ⇒f(x)=(x2−1).h(x)+x+5⇒f(x)=(x2−1).h(x)+x+5

f(1)=a+b+c=(12−1).h(1)+1+5=6 f(1)=a+b+c=(12−1).h(1)+1+5=6 

⇒a+b+c=6 (2)⇒a+b+c=6 (2)

f(−1)=−a+b+c=[(−1)2−1].h(−1)−1+5=4f(−1)=−a+b+c=[(−1)2−1].h(−1)−1+5=4

⇒−a+b+c=4 (3)⇒−a+b+c=4 (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra a=1;b=−133;c=283a=1;b=−133;c=283

Vậy f(x)=x3−133x2+283

Bình luận (0)
Minh Hiếu
4 tháng 1 2022 lúc 22:01

Áp dụng định lí Bezu nha

Bình luận (0)
Nguyễn Hoàng Minh
4 tháng 1 2022 lúc 22:09

Từ giả thiết ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}ax^3+bx^2+c=\left(x+2\right)\cdot a\left(x\right)\\ax^3+bx^2+c=\left(x^2-1\right)\cdot b\left(x\right)+x+5\end{matrix}\right.\)

Với \(x=-2\Rightarrow-8a+4b+c=0\)

Với \(x=1\Rightarrow a+b+c=0+1+5=6\)

Với \(x=-1\Rightarrow-a+b+c=0-1+5=4\)

Từ đó ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}-8a+4b+c=0\left(1\right)\\a+b+c=6\left(2\right)\\-a+b+c=4\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)-\left(3\right)=2a=2\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c=5\\4b+c=8\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\c=4\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;4\right)\)

Bình luận (2)
Xyz OLM
4 tháng 1 2022 lúc 22:12

Ta có a3 + bx2 + c \(⋮\)x + 2 

=> x = -2 là nghiệm của đa thức

f(-2) = -8a + 4b + c = 0 (1) 

f(x) chia x2 - 1 dư x + 5

=> ax3 + bx2 - x + c - 5 \(⋮\)x2 - 1

=> x = \(\pm\)1 nghiệm đa thức

Khi đó f(1) = a + b + c = 6 (2)

f(-1) = -a + b + c = 4 (3) 

Từ (2) và (3) => a = 1 ; b + c = 5 (4) 

Từ (1) ; (4) ta được b = 1 ; c = 4

Vậy a = 1 ; b = 1 ; c = 4 

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
ILoveMath
Xem chi tiết
Nguyên Hoàng
Xem chi tiết
Đặng Tuấn Anh
Xem chi tiết
Lê Thu Phương Anh
Xem chi tiết
Kẻ Huỷ Diệt
Xem chi tiết
Nghĩa Nguyễn
Xem chi tiết
duonghoangkhanhphuong
Xem chi tiết
nhật nguyệt
Xem chi tiết
vương quyết
Xem chi tiết