Question

Nhờ các bạn giải dùm:

1/Cho 3 số thực phân biệt a, b, c sao cho phương trình x²+ax+1=0 và x²+bx+c=0 có nghiệm chung, đồng thời phương trình x²+x+a=0 và

x²+cx+b=0 cũng có nghiệm chung.

Hãy tính a+b+c

2/Tìm a, b, c nguyên dương sao cho: a²-2c+2=abc

Answer 1

Bài 1:

Gọi $x_1$ là nghiệm chung của hai phương trình $x^2+ax+1=0$ $(1)$ và $x^2+bx+c=0$

Khi đó $x_1(a-b)+1-c=0\Rightarrow x_1=\frac{c-1}{a-b}$

Áp dụng định lý Viete nghiệm còn lại của PT $(1)$ là $x_2=\frac{1}{x_1}=\frac{a-b}{c-1}$

Gọi $x_3$ là nghiệm chung của hai phương trình $x^2+x+a=0$ và $x^2+cx+b=0$

Khi đó $x_3(c-1)+b-a=0\Rightarrow x_3=\frac{a-b}{c-1}=x_2$

Do đó PT $x^2+ax+1=0$ và $x^2+x+a=0$ có nghiệm chung $x_2=\frac{a-b}{c-1}$

$\Rightarrow (x_2-1)(a-1)=0$

Nếu $a=1$ thì PT $(1)$ chuyển thành $x^2+x+1=0$ (hiển nhiên vô lý vì $x^2+x+1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

Do đó $x_2=1$. Thay vào PT $(1)$ suy ra $a=-2$

Mặt khác $\frac{a-b}{c-1}=1\Rightarrow b+c=a+1=-1$

$\Rightarrow a+b+c=-3$