(I)\(\left\{\begin{matrix}x^2=\frac{y}{2}+\frac{1}{2y}\\y^2=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\end{matrix}\right.\)\(\leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x^2=\frac{y^2+1}{2y}\\y^2=\frac{x^2+1}{2x}\end{matrix}\right.\leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2x^2y=y^2+1\\2xy^2=x^2+1\end{matrix}\right.\)(1)
trừ 2 vế trên và dưới của (I) ta được:
\(x^2-y^2=\frac{y-x}{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right)=\frac{-\left(x-y\right)}{2}+\frac{1}{2}\frac{x-y}{xy}\)
\(\leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)+\frac{x-y}{2}-\frac{1}{2}\frac{x-y}{xy}=0\)
\(\leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+\frac{1}{2}-\frac{1}{2xy}\right)=0\)
TH1: x=y =>thay vào hệ I ta được:\(x^2=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\)
\(\leftrightarrow2x^3-x^2-1=0\leftrightarrow2x^3-2x^2+x^2-x+x-1=0\)
\(\leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x^2+x+1\right)=0\)
\(\leftrightarrow x=1\)(vì 2x^2+x+1>0 vs mọi x)
hệ (I) có nghiệm\(\left\{\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
TH2\(x+y+\frac{1}{2}-\frac{1}{2xy}=0\leftrightarrow2x^2y+2xy^2+xy-1=0\)
từ (1) thế vào pt ta được\(x^2+y^2+2+xy-1=0\leftrightarrow x^2+xy+y^2+1=0\)
mà x^2+y^2+xy\(\ge\)0 vs mọi x (bình phương thiếu của tổng) nên \(x^2+y^2+xy+1>0\forall x\)=> pt vô nghiệm
vậy hệ có nghiệm là (x,y)=(1;1)
