Question

Chứng minh rằng với mọi số thực x, y không đồng thời bằng 0 thì \(\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\ge\dfrac{x+y}{x^2-xy+y^2}\)

Answer 1

Ta chứng minh bổ đề : \(x^2-xy+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng).Áp dụng bổ đề trên, ta có \(\dfrac{x+y}{x^2-xy+y^2}\le\dfrac{x+y}{\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\dfrac{4}{x+y}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\), đến đây, ta quy BĐT về \(\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\ge\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{x+y}{xy}\Leftrightarrow\sqrt{x^2+y^2}\left(x+y\right)\ge2\sqrt{2}xy\) (1)

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có

\(\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{2xy}\) và \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) => BĐT (1) luôn đúng => BĐT được chứng minh.Dấu = xảy ra <=> x = y