Question

Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trục tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. CMR

a) \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\).

b) \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}\).

c) O, G, H thẳng hàng.

Answer 1

a) Mình nghĩ tam giác ABC nhọn?

Gọi M là trung điểm của BC.

Theo định lý về khoảng cách từ trực tâm đến một điểm và khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện, ta có AH = 2OM.

Mà AH // OM (Do cùng vuông góc với BC)

Nên \(\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}\).

Ta có: \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB};\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}\Rightarrow\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AH}\).

\(\Rightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}\left(đpcm\right)\)

Answer 2

c) O, G, H thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC :v

Answer 3

b) Ở câu a ta đã chứng minh:

\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).

Tương tự: \(\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA};\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\).

Cộng vế với vế ta có: \(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CH}=2\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}\right)=2\overrightarrow{OH}\) (câu a).

Đổi dấu hai vế ta có đpcm.