Question

Cho \(\left(\Delta\right)\) :2x+y+1=0 và hai điểm A(0;3),B(1,5)

a) tìm điểm M trên \(\left(\Delta\right)\) sao cho \(\left|MA-MB\right|\) lớn nhất

b) tìm điểm N trên \(\left(\Delta\right)\) sao cho NA+NB nhỏ nhất

Answer 1

Ta nhận thấy A và B nằm cùng phía với Δ

a. M ∈ Δ => M(m ; -1 - 2m)

=> \(\overrightarrow{MA}\) = ( -m ; 4 + 2m) ; \(\overrightarrow{AB}\) = (1 ; 2)

Ta có : \(\left|MA-MB\right|\le AB\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ A, M, B thẳng hàng

⇔ -m = \(\frac{4+2m}{2}\) ⇔ m = -1 => M ( -1 ; 1)

b. N ∈ Δ => N(n ; -1 - 2n)

Qua Δ lấy B' đối xứng với B => B' (\(\frac{-27}{5};\frac{9}{5}\))

=> \(\overrightarrow{B'A}\) = (\(\frac{27}{5};\frac{6}{5}\)) ; \(\overrightarrow{AN}\) = (n ; - 4 - 2n)

Mặt khác: NA + NB = NA + NB' ≥ AB'

Dấu "=" xảy ra ⇔ N, A, B' thẳng hàng

⇔ \(\frac{\frac{27}{5}}{n}=\frac{\frac{6}{5}}{-4-2n}\) ⇔ n = \(\frac{-9}{5}\) => N(\(\frac{-9}{5};\frac{13}{5}\))