Nguyễn Thị Cẩm Ly

Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc=1. CMR: \(\dfrac{a^2}{1+b}\)+\(\dfrac{b^2}{1+c}\)+\(\dfrac{c^2}{1+a}\)\(\dfrac{3}{2}\)

Trần Tuấn Hoàng
2 tháng 10 2022 lúc 16:08

- Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

\(\dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{1+b}.\dfrac{1+b}{4}}=a\)

- CMTT: \(\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{1+c}{4}\ge b;\dfrac{c^2}{1+a}+\dfrac{1+a}{4}\ge c\)

- Cộng từng vế của các BĐT trên ta có:

\(\dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{c^2}{1+a}+\dfrac{a+b+c+3}{4}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{c^2}{1+a}\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)-3}{4}\)

Mà ta có: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\sqrt[3]{1}=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{c^2}{1+a}\ge\dfrac{3.3-3}{4}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

- Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
2 tháng 10 2022 lúc 16:03

Đặt vế trái là P

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\Rightarrow3+a+b+c\le2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{1+b}+\dfrac{b^2}{1+c}+\dfrac{c^2}{1+a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Bình luận (0)
Bình Minh
2 tháng 10 2022 lúc 22:25

Ta có: `a^3 + b^3 + c^3 >= 3abc`.

`-> a + b + c >= 3` \(\sqrt[3]{abc}\) `= 3`.

Áp dụng bất đẳng thức Svac - xơ:

`a^2/(1+b) + b^2/(1+c) +c^2/(1+a) >= (a+b+c)^2/(1 + b + 1+c+1+a) = (a+b+c)^2/(3+a+b+c) >= 3^2/(3+3) = 9/6 = 3/2`.

Dấu bằng xảy ra `<=> a = b = c`.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Bảo Ngọc
Xem chi tiết
Bla bla bla
Xem chi tiết
Rhider
Xem chi tiết
Tăng Ngọc Đạt
Xem chi tiết
Khương Vũ Phương Anh
Xem chi tiết
minh nguyen
Xem chi tiết
Thành Nam
Xem chi tiết
Rhider
Xem chi tiết
_little rays of sunshine...
Xem chi tiết
Nguyễn An
Xem chi tiết