\(I\left(-6;6\right)\) ; \(R=5\sqrt{2}\)
a/ Gọi phương trình d có dạng \(ax+by+c=0\), do d qua M nên:
\(-3a+4b+c=0\Rightarrow c=3a-4b\Rightarrow d:\) \(ax+by+3a-4b=0\)
AB ngắn nhất khi khoảng cách từ I đến d là lớn nhất
\(d\left(I;d\right)=\frac{\left|-6a+6b+3a-4b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left|2b-3a\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=k\)
\(\Leftrightarrow\left(2b-3a\right)^2=k^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(k^2-9\right)a^2+12ab+\left(k^2-4\right)b^2=0\)
\(\Delta'=36b^2-\left(k^2-9\right)\left(k^2-4\right)b^2\ge0\)
\(\Rightarrow-k^4+13k^2\ge0\Rightarrow0\le k^2\le13\)
\(\Rightarrow k_{max}=\sqrt{13}\Rightarrow a=\frac{-12b}{2\left(k^2-9\right)}=-\frac{3b}{2}\)
Phương trình d: \(-\frac{3b}{2}x+by-\frac{9b}{2}-4b=0\Leftrightarrow3x-2y+17=0\)
b/ Gọi \(D\left(0;a\right)\)
Theo tính chất tiếp tuyến ta có \(IK\perp CD\Rightarrow\) các tam giác IKC và IKD vuông tại K
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}IK-chung\\CK=DK\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta IKC=\Delta IKD\left(cgv-cgv\right)\)
\(\Rightarrow IC=ID\Rightarrow\left(x_C+6\right)^2+6^2=\left(y_D-6\right)^2+6^2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_C+6=y_D-6\\x_C+6=6-y_D\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=y_D-12\\x_C=-y_D\end{matrix}\right.\)
TH1: \(x_C=y_D-12\Rightarrow C\left(a-12;0\right);D\left(0;a\right)\)
\(\Rightarrow\) Phương trình d: \(ax+\left(a-12\right)y-a^2+12a=0\)
d tiếp xúc (C) \(\Rightarrow d\left(I;d\right)=R\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|-6a+\left(a-12\right)6-a^2+12a\right|}{\sqrt{a^2+\left(a-12\right)^2}}=5\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|a^2-12a+72\right|=5\sqrt{2\left(2a^2-24a+144\right)}\)
\(\Leftrightarrow a^2-12a+72=10\sqrt{a^2-12a+72}\)
\(\Leftrightarrow a^2-12a+72=100\)
\(\Leftrightarrow a^2-12a-28=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=14\\a=-2\end{matrix}\right.\)
Phương trình d: \(\left[{}\begin{matrix}7x+y-14=0\\x+7y+14=0\end{matrix}\right.\)
TH2: \(x_C=-y_D\) bạn tự thay vào giải, nhưng đoán là kết quả sẽ ra y hệt như bên trên, vì chỉ có 2 tiếp tuyến là cùng
