Question

1. Trong Oxy, cho (C): \(x^2+y^2-2x-6y+6=0\), M (-3; 1).
a) Chứng minh M nằm ngoài (C). Gọi A, B là tiếp điểm của các tiếp tuyến từ M đến (C). Tìm tọa độ A, B.
b) Viết phương trình tiếp tuyến d' của (C) biết d' hợp với đường thẳng \(\Delta':2x+y-1=0\) góc 45⁰.

2. Trong Oxy, cho (C₁): \(x^2+y^2-2x-4y+1=0\), M (3; 4).
a) Viết phương trình tiếp tuyến d₁ với đường tròn (C₁) tại giao điểm của \(\Delta_1:x-2y+5=0,\Delta_2:3x+y+1=0\).
b) Viết phương trình đường tròn (C₂) có tâm M, cắt đường tròn (C₁) tại hai điểm A, B sao cho \(S_{\Delta IAB}\) lớn nhất.

MONG MỌI NGƯỜI GIÚP ĐỠ CHO MÌNH! CẢM ƠN RẤT NHIỀU!

Answer 1

Bài 1:

Đường tròn tâm \(I\left(1;3\right)\) bán kính \(R=2\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(-4;-2\right)\Rightarrow IM=\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{5}>R\)

\(\Rightarrow\) M nằm ngoài (C)

Phương trình đường thẳng d qua M có dạng:

\(a\left(x+3\right)+b\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow ax+by+3a-b=0\)

d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow d\left(I;d\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|a+3b+3a-b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\Leftrightarrow\left|2a+b\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4ab+b^2=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow3a^2+4ab=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\3a=-4b\end{matrix}\right.\) chọn \(a=4\Rightarrow b=-3\)

Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y-1=0\\4x-3y+15=0\end{matrix}\right.\)

Tọa độ A là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\x^2+y^2-2x-6y+6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(1;1\right)\)

Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}4x-3y+15=0\\x^2+y^2-2x-6y+6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-\frac{3}{5};\frac{21}{5}\right)\)

Answer 2

Bài 1b/

\(\Delta'\) nhận \(\left(2;1\right)\) là 1 vtpt

Gọi vtpt của d' có dạng \(\left(a;b\right)\Rightarrow\frac{\left|2a+b\right|}{\sqrt{2^2+1^2}.\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\left|2a+b\right|=\sqrt{5\left(a^2+b^2\right)}\Leftrightarrow2\left(2a+b\right)^2=5\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3a^2+8ab-3b^2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-3b\\3a=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) d' có 2 vtpt thỏa mãn là \(\left(3;-1\right)\) và \(\left(1;3\right)\)

TH1: d' có pt dạng \(3x-y+c=0\)

\(d\left(I;d'\right)=R\Leftrightarrow\frac{\left|3.1-3+c\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=2\Rightarrow c=\pm2\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-y+2\sqrt{10}=0\\3x-y-2\sqrt{10}=0\end{matrix}\right.\)

TH2: d' có dạng \(x+3y+c=0\)

\(d\left(I;d'\right)=R\Leftrightarrow\frac{\left|1+3.3+c\right|}{\sqrt{10}}=2\Leftrightarrow\left|c+10\right|=2\sqrt{10}\Rightarrow c=-10\pm2\sqrt{10}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3y-10+2\sqrt{10}=0\\x+3y-10-2\sqrt{10}=0\end{matrix}\right.\)

Answer 3

Bài 2:

Đường tròn \(\left(C_1\right)\) tâm \(\left(1;2\right)\) bán kính \(R=2\)

a/ Không hiểu đề bài, bạn ghi rõ thêm ra được chứ?

Tiếp tuyến đi qua giao điểm của \(\Delta_1;\Delta_2\) hay tiếp tuyến tại các giao điểm của \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) với đường tròn?

b/ Lại không hiểu đề nữa, điểm I trong tam giác \(IAB\) đó là điểm nào vậy bạn?