Question

Cho a,b,c>0. CMR với mọi a,b,c thì \(\dfrac{a^2+bc}{b+c}+\dfrac{b^2+ca}{c+a}+\dfrac{c^2+ab}{a+b}\ge a+b+c\)

Answer 1

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+bc}{b+c}+\dfrac{b^2+ca}{c+a}+\dfrac{c^2+ab}{a+b}-a-b-c\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+bc-ab-ac}{b+c}+\dfrac{b^2+ca-bc-ab}{c+a}+\dfrac{c^2+ab-ca-bc}{a+b}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+bc-ab-ac\right)\left(a+b\right)\left(c+a\right)+\left(b^2+ca-bc-ab\right)\left(b+c\right)\left(a+b\right)+\left(c^2+ab-ca-bc\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge0\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-b^2c^2-c^2a^2-a^2b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)\ge0\left(đúng\right)\)

\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c\)