Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quốc Bảo

Cho a , b , c , d là các số thực không âm thỏa mãn

\(\left(a+b+c\right)\left(b+c+d\right)\left(c+d+a\right)\left(d+a+b\right)>0\)

Chứng minh rằng \(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\ge2\)

Kuro Kazuya
18 tháng 2 2017 lúc 11:56

Xét: \(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c+d}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\)

\(\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c+d+a}}=\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}\)

\(\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{d+a+b}}=\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}\)

\(\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}=\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{a+b+c}}=\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\)

\(\Rightarrow VT=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}+\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{a\left(b+c+d\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\\\sqrt{b\left(c+d+a\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\\\sqrt{c\left(d+a+b\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\\\sqrt{d\left(a+b+c\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\\\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}\ge\frac{2b}{a+b+c+d}\\\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}\ge\frac{2c}{a+b+c+d}\\\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\ge\frac{2d}{a+b+c+d}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{2a}{a+b+c+d}+\frac{2b}{a+b+c+d}+\frac{2c}{a+b+c+d}+\frac{2d}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\)

\(\Rightarrow VT\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}+\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\ge2\) ( đpcm )

Akai Haruma
18 tháng 2 2017 lúc 21:14

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(\frac{b+c+d}{a}=\frac{b+c+d}{a}.1\leq \left(\frac{\frac{b+c+d}{a}+1}{2}\right)^2=\left(\frac{b+c+d+a}{2a}\right)^2\)

\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}\). Tương tự với các phân thức còn lại:

\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2\) (đpcm)

Tùng Sơn
18 tháng 2 2017 lúc 18:39

tự diễn biến tự chuyển hóa là ko tốt :)

ღ«^*Ely*Nhi^*»ღ
22 tháng 2 2017 lúc 21:36

C1 : Xét: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm ( đpcm )  Đúng 3  Bình luận Câu trả lời được Hoc24 lựa chọn  Báo cáo sai phạm Tùng Sơn (https://hoc24.vn/vip/tungson) tự diễn biến tự chuyển hóa là ko tốt :)  Đúng  Bình luận  Báo cáo sai phạm Quốc Bảo (https://hoc24.vn/vip/1245121512222955) 18/02 lúc 11:36  3 câu trả lời (https://hoc24.vn/hoi-dap/question/186952.html) Toán lớp 9 (https://hoc24.vn/toan-hoc/hoi-dap/?lop=9) Đại số lớp 9 (https://hoc24.vn/hoi-dap/dai-so-lop-9.3607/ ) Cho a , b , c , d là các số thực không âm thỏa mãn Chứng minh rằng (a + b + c)(b + c + d)(c + d + a)(d + a + b) > 0 + + + ≥ 2 a b+c+d −−−−− √ b c+d+a −−−−− √ c d+a+b −−−−− √ d a+b+c −−−−− √ Thích Chia sẻ 0 Lưu vào Facebook = = a b+c+d −−−−− √ √a √b+c+d a √a(b+c+d) = = b c+d+a −−−−− √ √b √c+d+a b √b(c+d+a) = = c d+a+b −−−−− √ √c √d+a+b c √c(d+a+b) = = d a+b+c −−−−− √ √d √a+b+c d √d(a+b+c) ⇒ V T = + + + a √a(b+c+d) b √b(c+d+a) c √c(d+a+b) d √d(a+b+c)

Nguyễn Xuân Trí
2 tháng 3 2017 lúc 11:00

chuan ko phai chinh day

Nguyễn Xuân Trí
2 tháng 3 2017 lúc 11:01

nguyen nhat minh gui tra loi hay day

chuan ko phai chinh

can loi

dung

ko phải chỉnh vì ko có chỗ để chỉnh


Các câu hỏi tương tự
Hàn Thiên Tử
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Tú Uyên
Xem chi tiết
tran phuong thao
Xem chi tiết
lê thị tiều thư
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
Quốc Bảo
Xem chi tiết
Nguyễn Phan Ngọc Tú
Xem chi tiết
Trần Nguyễn Bảo Quyên
Xem chi tiết
Quách Phú Đạt
Xem chi tiết