Câu hỏi của Quốc Bảo

Question

Cho a , b , c , d là các số thực không âm thỏa mãn

$\left(a+b+c\right)\left(b+c+d\right)\left(c+d+a\right)\left(d+a+b\right)>0$

Chứng minh rằng \(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sq...

Kuro Kazuya · Accepted Answer

Xét: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c+d}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}$

$\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c+d+a}}=\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}$

$\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{d+a+b}}=\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}$

$\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}=\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{a+b+c}}=\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}$

$\Rightarrow VT=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}+\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{a\left(b+c+d\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\\sqrt{b\left(c+d+a\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\\sqrt{c\left(d+a+b\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\\sqrt{d\left(a+b+c\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}\ge\frac{2b}{a+b+c+d}\\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}\ge\frac{2c}{a+b+c+d}\\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\ge\frac{2d}{a+b+c+d}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow VT\ge\frac{2a}{a+b+c+d}+\frac{2b}{a+b+c+d}+\frac{2c}{a+b+c+d}+\frac{2d}{a+b+c+d}$

$\Rightarrow VT\ge\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}$

$\Rightarrow VT\ge2$

$\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}+\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\ge2$

$\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\ge2$ ( đpcm )Câu trả lời: Xét: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b+c+d}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}$

$\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c+d+a}}=\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}$

$\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{d+a+b}}=\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}$

$\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}=\frac{\sqrt{d}}{\sqrt{a+b+c}}=\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}$

$\Rightarrow VT=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}+\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{a\left(b+c+d\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\\sqrt{b\left(c+d+a\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\\sqrt{c\left(d+a+b\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\\sqrt{d\left(a+b+c\right)}\le\frac{a+b+c+d}{2}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}\ge\frac{2b}{a+b+c+d}\\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}\ge\frac{2c}{a+b+c+d}\\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\ge\frac{2d}{a+b+c+d}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow VT\ge\frac{2a}{a+b+c+d}+\frac{2b}{a+b+c+d}+\frac{2c}{a+b+c+d}+\frac{2d}{a+b+c+d}$

$\Rightarrow VT\ge\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}$

$\Rightarrow VT\ge2$

$\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(c+d+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(d+a+b\right)}}+\frac{d}{\sqrt{d\left(a+b+c\right)}}\ge2$

$\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\ge2$ ( đpcm )

Akai Haruma · Answer

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$\frac{b+c+d}{a}=\frac{b+c+d}{a}.1\leq \left(\frac{\frac{b+c+d}{a}+1}{2}\right)^2=\left(\frac{b+c+d+a}{2a}\right)^2$

$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$. Tương tự với các phân thức còn lại:

$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2$ (đpcm)Câu trả lời: Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$\frac{b+c+d}{a}=\frac{b+c+d}{a}.1\leq \left(\frac{\frac{b+c+d}{a}+1}{2}\right)^2=\left(\frac{b+c+d+a}{2a}\right)^2$

$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$. Tương tự với các phân thức còn lại:

$\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2$ (đpcm)

Tùng Sơn · Answer

tự diễn biến tự chuyển hóa là ko tốt :)Câu trả lời: tự diễn biến tự chuyển hóa là ko tốt :)

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)