phương trình dạng toán tử : \(\widehat{H}\)\(\Psi\) = E\(\Psi\)
Toán tử Laplace: \(\bigtriangledown\)2 = \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)+\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)
thay vào từng bài cụ thể ta có :
a.sin(x+y+z)
\(\bigtriangledown\)2 f(x,y,z) = ( \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)+\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\))sin(x+y+z)
=\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)sin(x+y+z) + \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)sin(x+y+z) + \(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)sin(x+y+z)
=\(\frac{\partial}{\partial x}\)cos(x+y+z) + \(\frac{\partial}{\partial y}\)cos(x+y+z) + \(\frac{\partial}{\partial z}\)cos(x+y+z)
= -3.sin(x+y+z)
\(\Rightarrow\) sin(x+y+z) là hàm riêng. với trị riêng bằng -3.
b.cos(xy+yz+zx)
\(\bigtriangledown\)2 f(x,y,z) = ( \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)+\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\))cos(xy+yz+zx)
=\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)cos(xy+yz+zx) +\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)cos(xy+yz+zx) + \(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)cos(xy+yz+zx)
=\(\frac{\partial}{\partial x}\)(y+z).-sin(xy+yz+zx) + \(\frac{\partial}{\partial y}\)(x+z).-sin(xy+yz+zx) + \(\frac{\partial}{\partial z}\)(y+x).-sin(xy+yz+zx)
=- ((y+z)2cos(xy+yz+zx) + (x+z)2cos(xy+yz+zx) + (y+x)2cos(xy+yz+zx))
=-((y+z)2+ (x+z)2 + (x+z)2).cos(xy+yz+zx)
\(\Rightarrow\) cos(xy+yz+zx) không là hàm riêng của toán tử laplace.
c.exp(x2+y2+z2)
\(\bigtriangledown\)2 f(x,y,z) = (\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\))exp(x2+y2+z2) =\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)exp(x2+y2+z2)+\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)exp(x2+y2+z2) +\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)exp(x2+y2+z2) =\(\frac{\partial}{\partial x}\)2x.exp(x2+y2+z2)+\(\frac{\partial}{\partial y}\)2y.exp(x2+y2+z2)+\(\frac{\partial}{\partial z}\)2z.exp(x2+y2+z2) =2.exp(x2+y2+z2) +4x2.exp(x2+y2+z2)+2.exp(x2+y2+z2) +4y2.exp(x2+y2+z2)+2.exp(x2+y2+z2) +4z2.exp(x2+y2+z2) =(6+4x2+4y2+4z2).exp(x2+y2+z2)\(\Rightarrow\)exp(x2+y2+z2) không là hàm riêng của hàm laplace.d.ln(xyz)\(\bigtriangledown\)2 f(x,y,z) = (\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)+ \(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\))ln(xyz) =\(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\)ln(xyz)+\(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\)ln(xyz)+\(\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)ln(x+y+z) =\(\frac{\partial}{\partial x}\)yz.\(\frac{1}{xyz}\) + \(\frac{\partial}{\partial y}\)xz.\(\frac{1}{xyz}\) + \(\frac{\partial}{\partial z}\)xy.\(\frac{1}{xyz}\) =\(\frac{\partial}{\partial x}\)\(\frac{1}{x}\) + \(\frac{\partial}{\partial y}\)\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{\partial}{\partial z}\)\(\frac{1}{z}\) = - \(\frac{1}{x^2}\)- \(\frac{1}{y^2}\)- \(\frac{1}{z^2}\)\(\Rightarrow\) ln(xyz) không là hàm riêng của hàm laplace.
Bạn Hồng gửi lại đáp án, bạn gõ trực tiếp câu trả lời lên web, không gửi dưới dạng ảnh.
Đáp án là A, trị riêng a=-3. Công thức toán em paste mãi không được
Một hàm \(\Psi\) được coi là một hàm riêng của toán t ử Laplace khi:
\(\bigtriangledown^2\)\(\Psi\)=C.\(\Psi\) với C là hằng số
Ở câu a, ta có: xét tổng đạo hàm cấp 2 của từng biến của hàm số \(\Psi\)=sin(x+y+z) ta được hàm số mới \(\varphi\) = -3sin(x+y+z).
Vậy ta có thể kết luận được \(\Psi\) là 1 hàm riêng của toán tử Laplace với giá trị của trị riêng là -3
Toán tử laplace có dạng: 
.
Phương trình hàm riêng trị riêng A^.ᵠ=an. ᵠ
Trong đó an: trị riêng, ᵠ hàm song,A^ toán tử tác động lên hàm ᵠ.
Xét hàm f=exp(x2+y2+z2). Tác độg toán tử laplace vào hàm f ta dc: A^.exp(x2+y2+z2)=(6+4.x2+4.y2+4.z2).exp(x2+y2+z2). Suy ra hàm exp(x2+y2+z2) là hàm riêng của toán tử laplace. Và trị rêng tương ứng là 6+4.x2+4.y2+4.z2.
a) Dặt f(x y z)=sin(x+y+z)
Tác động toán tử lên f suy ra
\(\Delta^2\)f=(\(\frac{d^2}{d^2x}\)+\(\frac{d^2}{d^2y}\)+\(\frac{d^2}{d^2z}\))sin(x+y+z)=\(\frac{d^2}{d^2x}\)sin(x+y+z)+\(\frac{d^2}{d^2y}\)sin(x+y+z)+\(\frac{d^2}{d^2z}\)sin(x+y+z)=\(\frac{d}{dx}\)cos(x+y+z)+\(\frac{d}{dy}\)cos(x+y+z)+\(\frac{d}{dz}\)cos(x+y+z)
=-sin(x+y+z) - sin(x+y+z) - sin(x+y+z)=-3sin(x+y+z)
Dễ thấy \(\Delta^2\)f=-3f suy ra hàm sin(x+y+z) là hàm riêng của toán tử Laplace với trị riêng là -3.
Kí hiệu toán tử Laplace bị ngược vì ko tìm thấy nên lấy tạm chữ denta.
Nếu kết quả tác động của toán tử tuyến tính \(\hat{H} \) lên một hàm \(\psi\) bằng chính hàm \(\psi\) đó nhân với tham số E nào đó thì ta gọi \(\psi\)là hàm riêng và E là trị riêng của toán tử \(\hat{H} \)
\(\hat{H}\psi=E\psi\)
Ở đây \(\hat{H} \) là toán tử Laplace \(\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)
a) \(\psi=sin(x+y+z)\)
\(\nabla^2\psi=(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2})sin(x+y+z)\)\(=\frac{\partial^2}{\partial x^2}(sin(x+y+z))+\frac{\partial^2}{\partial y^2}(sin(x+y+z))+\frac{\partial^2}{\partial z^2}sin(x+y+z)\)
\(=\frac{\partial}{\partial x}(cos(x+y+z))+\frac{\partial}{\partial y}(cos(x+y+z))+\frac{\partial}{\partial z}(cos(x+y+z))\)
\(=-sin(x+y+z)-sin(x+y+z)-sin(x+y+z)=-3sin(x+y+z)\)\(=-3\psi\)
\(\Rightarrow\) Vậy \(\psi\) là hàm riêng và -3 là trị riêng của toán tử Laplace
b,c,d làm tương tự
