Question

1.Viết phương trình đường thẳng qua A(2;3) và cắt (C): (x+1)^2 + y^2=9 tại M và N sao cho MN=6.

2. Cho đường tròn (C): (x-2)^2+(y-4)^2= 4 . Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết rằng tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân.

Answer 1

Câu 1:

Đường tròn (C) tâm \(I\left(-1;0\right)\) bán kính \(R=3\)

Do \(MN=6=2R\Rightarrow\) đường thẳng d đi qua tâm I

\(\Rightarrow\) Đường thẳng cần tìm là đường thẳng IA

\(\overrightarrow{IA}=\left(3;3\right)=3\left(1;1\right)\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng IA nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình IA:

\(1\left(x-2\right)-1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow x-y+1=0\)

Câu 2:

Đường tròn tâm \(I\left(2;4\right)\) bán kính \(R=2\)

Do tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ 1 tam giác vuông cân

\(\Rightarrow\) Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 45 độ hoặc 135 độ

\(\Rightarrow\) Đường tiếp tuyến có hệ số góc \(k=\pm1\)

Gọi tiếp tuyến có dạng \(y=kx+b\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y+b=0\\x+y-b=0\end{matrix}\right.\)

Do d là tiếp tuyến nên \(d\left(I;d\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\frac{\left|2-4+b\right|}{\sqrt{1+1}}=2\\\frac{\left|2+4-b\right|}{\sqrt{1+1}}=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|b+2\right|=2\sqrt{2}\\\left|b-6\right|=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-2+2\sqrt{2}\\b=-2-2\sqrt{2}\\b=6+2\sqrt{2}\\b=6-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow d:\left[{}\begin{matrix}x-y-2+2\sqrt{2}=0\\x-y-2-2\sqrt{2}=0\\x+y-6-2\sqrt{2}=0\\x+y-6+2\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)