1. giải pt và hpt : a) \(3x-16y-24=\sqrt{9x^2+16x+32}\) (\(x,y\in N\)*)
b) \(4x^3+5x^2+1=\sqrt{3x+1}-3x\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}y^2\sqrt{2x-1}+\sqrt{3}=5y^2-\sqrt{6x-3}\\2y^4\left(5x^2-17x+6\right)=6-15x\end{matrix}\right.\)
2. \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c\ge1\\32abc=18\left(a+b+c\right)+24\end{matrix}\right.\) Tìm Max \(P=\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2-1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2-1}}{c}\)
Bài 1a:
Ta thấy vế trái là số tự nhiên với mọi $x,y\in\mathbb{N}^*$. Do đó $\sqrt{9x^2+16x+32}\in\mathbb{N}^*$
Điều này xảy ra khi \(9x^2+16x+32\) là số chính phương.
Đặt \(9x^2+16x+32=t^2(t\in\mathbb{N}^*)\)
\(\Leftrightarrow 81x^2+144x+288=9t^2\)
\(\Leftrightarrow (9x+8)^2+224=(3t)^2\Leftrightarrow (3t-9x-8)(3t+9x+8)=224\)
Hiển nhiên $3t+9x+8>0; 3t+9x+8>3t-9x-8$ với mọi $x,t\in\mathbb{N}^*$ và $3t+9x+8; 3t-9x-8$ cùng tính chẵn lẻ.
Do đó \((3t+9x+8; 3t-9x-8)=(16;14); (28;8); (56;4); (112;2)\)
Thử các TH trên ta thu được $x=2$ là kết quả duy nhất thỏa mãn
Thay vào PT ban đầu suy ra $y=\frac{-7}{4}$ (vô lý)
Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn.
Bài 1b:
ĐKXĐ: \(x\geq \frac{-1}{3}\)
PT \(\Leftrightarrow 4x^3+5x^2+3x+1-\sqrt{3x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow 4x^3+5x^2+3x-\frac{3x}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(4x^2+5x+3-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}\right)=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ 4x^2+5x+3-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}=0(*)\end{matrix}\right.\)
Xét $(*)$
\(\Leftrightarrow 4x^2+x+4x+1+2-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow x(4x+1)+(4x+1)+\frac{2\sqrt{3x+1}-1}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow (4x+1)(x+1)+\frac{3(4x+1)}{(\sqrt{3x+1}+1)(2\sqrt{3x+1}+1)}=0\)
\(\Leftrightarrow (4x+1)\left[(x+1)+\frac{3}{(\sqrt{3x+1}+1)(2\sqrt{3x+1}+1)}\right]=0\)
Với mọi $x\geq \frac{-1}{3}$ dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương. Do đó $4x+1=0\Rightarrow x=\frac{-1}{4}$ (thử lại thấy t/m)
Vậy \(x=0\) hoặc \(x=-\frac{1}{4}\)
Bài 1c:
ĐKXĐ: \(x\geq \frac{1}{2}\)
Xét PT(2):
\(\Leftrightarrow 2y^4(x-3)(5x-2)=3(2-5x)\)
\(\Leftrightarrow (5x-2)[2y^4(x-3)+3]=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=\frac{2}{5}(\text{loại vì x}\geq \frac{1}{2})\\ 2y^4(x-3)+3=0\end{matrix}\right.\)
Với \(2y^4(x-3)+3=0\Rightarrow 3=2y^4(3-x)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 3\\ \sqrt{3}=y^2\sqrt{6-2x}\end{matrix}\right.\)
Thay vào PT(1):
\(y^2\sqrt{2x-1}+y^2\sqrt{6-2x}-5y^2+y^2\sqrt{6-2x}.\sqrt{2x-1}=0\)
\(\Leftrightarrow y^2(\sqrt{2x-1}+\sqrt{6-2x}-5+\sqrt{6-2x}.\sqrt{2x-1})=0\)
Nếu $y^2=0\Rightarrow y=0\Rightarrow 3=2y^4(3-x)=0$ (vô lý)
Nếu \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{6-2x}-5+\sqrt{6-2x}.\sqrt{2x-1}=0\):
Đặt \(\sqrt{2x-1}=a; \sqrt{6-2x}=b(a,b\geq 0)\) thì: \(\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=5\\ a+b-5+ab=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2-2ab=5\\ a+b-5+ab=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=\frac{(a+b)^2-5}{2}\\ a+b-5+ab=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b-5+\frac{(a+b)^2-5}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^2+2(a+b)-15=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b-3)(a+b+5)=0\)
Vì $a+b+5\geq 5$ với mọi $a,b\geq 0$ nên $a+b-3=0\Rightarrow a+b=3$
$\Rightarrow ab=\frac{(a+b)^2-5}{2}=2$
Áp dụng định lý Viet đảo thì $a,b$ là nghiệm của $X^2-3X+2=0$
$\Rightarrow (a,b)=(1,2); (2,1)$ $\Rightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{5}{2}$ (thỏa mãn)
Vậy......
1b) PT \(\Leftrightarrow4x^3+5x^2+x+\left(2x+1-\sqrt{3x+1}\right)=0\)(ĐKXD: \(x\ge-\frac{1}{3}\))
\(\Leftrightarrow x\left(4x+1\right)\left(x+1\right)+\frac{x\left(4x+1\right)}{2x+1+\sqrt{3x+1}}=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(4x+1\right)\left[x+1+\frac{1}{2x+1+\sqrt{3x+1}}\right]=0\)
Cái ngoặc to > 0. Do đó \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\)(cả hai đều thỏa mãn)
Vậy...
P/s: Hình như cách này ngắn hơn cách của chị Akai Haruma thì phải ạ!
Bài 1c:
ĐKXĐ: \(x\geq \frac{1}{2}\)
Xét PT(2):
\(\Leftrightarrow 2y^4(x-3)(5x-2)=3(2-5x)\)
\(\Leftrightarrow (5x-2)[2y^4(x-3)+3]=0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=\frac{2}{5}(\text{loại vì x}\geq \frac{1}{2})\\ 2y^4(x-3)+3=0\end{matrix}\right.\)
Với \(2y^4(x-3)+3=0\Rightarrow 3=2y^4(3-x)\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq 3\\ \sqrt{3}=y^2\sqrt{6-2x}\end{matrix}\right.\)
Thay vào PT(1):
\(y^2\sqrt{2x-1}+y^2\sqrt{6-2x}-5y^2+y^2\sqrt{6-2x}.\sqrt{2x-1}=0\)
\(\Leftrightarrow y^2(\sqrt{2x-1}+\sqrt{6-2x}-5+\sqrt{6-2x}.\sqrt{2x-1})=0\)
Nếu $y^2=0\Rightarrow y=0\Rightarrow 3=2y^4(3-x)=0$ (vô lý)
Nếu \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{6-2x}-5+\sqrt{6-2x}.\sqrt{2x-1}=0\):
Đặt \(\sqrt{2x-1}=a; \sqrt{6-2x}=b(a,b\geq 0)\) thì: \(\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=5\\ a+b-5+ab=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2-2ab=5\\ a+b-5+ab=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=\frac{(a+b)^2-5}{2}\\ a+b-5+ab=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b-5+\frac{(a+b)^2-5}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b)^2+2(a+b)-15=0\)
\(\Leftrightarrow (a+b-3)(a+b+5)=0\)
Vì $a+b+5\geq 5$ với mọi $a,b\geq 0$ nên $a+b-3=0\Rightarrow a+b=3$
$\Rightarrow ab=\frac{(a+b)^2-5}{2}=2$
Áp dụng định lý Viet đảo thì $a,b$ là nghiệm của $X^2-3X+2=0$
$\Rightarrow (a,b)=(1,2); (2,1)$ $\Rightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{5}{2}$ (thỏa mãn)
Vậy......
Nguyễn Thị Ngọc Thơ, Băng Băng 2k6, Nguyễn Thanh Hằng, Lê Thị Thục Hiền, Vũ Minh Tuấn, @Nk>↑@,
tth, , @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, Luân Đào
Giúp t vs! Cần gấp!
Thanks nhiều!
Bài 2:
Điểm rơi xấu. Em có thể tham khảo thêm bài ở đây:
