Làm tạm max, min chưa nhìn thấy điểm rơi :(
Với các số không âm \(a;b;c;d\) ta có:
\(a+b+c+d\ge4\sqrt[4]{abcd}\Rightarrow abcd\le\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4\)
Do \(x;y\) không âm \(\Rightarrow xy^2\ge0\Rightarrow P< 0\) nếu \(8-x-y< 0\) và \(P\ge0\) nếu \(8-x-y\ge0\Rightarrow P_{max}\) nếu có sẽ xảy ra khi \(8-x-y\ge0\)
Xét trường hợp \(8-x-y\ge0\) ta có:
\(P=4x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}\left(8-x-y\right)\le4\left(\frac{x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}+8-x-y}{4}\right)^4=64\)
\(\Rightarrow P_{max}=64\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{y}{2}\\x=8-x-y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=4\end{matrix}\right.\)
Làm nốt min
\(P=xy^2\left(8-x-y\right)=xy^2.\left[8-\left(x+y\right)\right]\ge x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}.\left(8-12\right).4=x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}.\left(-16\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b+c\ge3.\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\ge abc\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c
Áp dụng:\(P\ge x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}.\left(8-12\right).4=x.\frac{y}{2}.\frac{y}{2}.\left(-16\right)\ge\left(\frac{x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2}}{3}\right)^3.\left(-16\right)=\left(\frac{12}{3}\right)^3.\left(-16\right)=4^3.\left(-16\right)=-1024\)Dấu " = " xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=12\\x=\frac{y}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=8\\x=4\end{matrix}\right.\)
KL:.......................
@Nguyễn Việt Lâm, @Ribi Nkok Ngok, @Khôi Bùi, ?Amanda?
Luân Đào, tran nguyen bao quan, Phùng Tuệ Minh, Nguyễn Thị Diễm Quỳnh
