Gọi $(O;R)$ là đường tròn, $MA, MB$ là hai tiếp tuyến ($A, B$ là tiếp điểm). Kẻ đường kính $AC$, $MC$ cắt $(O)$ tại $D$. Gọi $H = AB \cap MO$.
a)
Vì $MA$ là tiếp tuyến nên $OA \perp MA$
$\Rightarrow \widehat{MDA} = \widehat{MHA}$
Suy ra bốn điểm $M, D, H, A$ cùng nằm trên một đường tròn.
Vậy tứ giác $MDHA$ nội tiếp.
b)
Vì $MDHA$ nội tiếp nên
$MD \cdot MC = MH \cdot MO$
Lại do $MDHA$ nội tiếp nên
$\widehat{MHD} = \widehat{MAD}$
Mà $\widehat{MAD} = \widehat{DBA}$
$\Rightarrow \widehat{MHD} = \widehat{DBA}$.
c)
Vì $AC$ là đường kính nên
$\widehat{ADC} = 90^\circ$
=> $\widehat{HDB} = 90^\circ$.
Xét $\triangle ABD$ vuông tại $D$.
Giả sử $MA = 2R$.
Vì $MA^2 = MO^2 - R^2$
$4R^2 = MO^2 - R^2$
$MO^2 = 5R^2$
$MO = R\sqrt{5}$
Từ các hệ thức lượng trong tam giác vuông suy ra $AB = 2R$
Diện tích tam giác $ABD$ là
$S_{ABD} = \dfrac{1}{2} AB \cdot AD$
$= \dfrac{1}{2} \cdot 2R \cdot R$
$= R^2$
Vậy $S_{ABD} = R^2$.
