\(x^2y=2x^2+x+y\)
\(\Leftrightarrow\left(2-y\right)x^2+x+y=0\left(1\right)\)
Coi phương trình (1) là phương trình ẩn x tham số y, ta có:
\(\Delta=1-4\left(2-y\right)y=1-4\left(2y-y^2\right)=4y^2-8y+1\)
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì \(\Delta\) phải là số chính phương. Do đó:
\(4y^2-8y+1=a^2\) (a là số tự nhiên)
\(\Leftrightarrow\left(4y^2-8y+4\right)-a^2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(2y-2\right)^2-a^2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(2y+a-2\right)\left(2y-a-2\right)=3\)
Ta có \(2y+a-2>2y-a-2\). Lập bảng:
| 2y+a-2 | 3 | -1 |
| 2y-a-2 | 1 | -3 |
| y | 2 | 0 |
Với \(y=2\Rightarrow x=-2\)
Với \(y=0\Rightarrow x=0\)
Vậy các nghiệm nguyên (x;y) của pt đã cho là \(\left(-2;2\right),\left(0;0\right)\)
