Gọi O là giao điểm của CF và BE
Kẻ OH vuông góc với BC
Nối E với F
Ta có:BE và CF là trung tuyến
=>AB+AC=2BE+2CF
=>AB2+AC2=4BE2+4CF2
Áp dụng định lý py ta go cho tam giác BOE và COF ta có:
BE2=OE2+OB2=>4BE2=4(OE2+OB2)
và CF2=OF2+OC2=>4OF2=4(OF2+OC2)
=>AB2+AC2=4(OE2+OF2+OC2+OB2)(1)
Do E,F là trung điiểm của AB và AC =>EF=1/2BC
=>4EF2=BC2
Áp dụng đl py ta go cho tam giác OEF ta có:
EF2=OE2+OF2=>4EF2=4(OE2+OF2)=BC2
Từ 1 => AB2+AC2=BC2+4(OB2+OC2)(2)
Xét tam giác HOC và OBC ta có:
góc OHC=góc BOC=900
góc BCO chung
=>tam giác HOC đồng dạng Tam giác OBC
=>\(\frac{HC}{OC}=\frac{OC}{BC}\Rightarrow OC^2=HC.BC\)
Tương tự ta có:\(OB^2=HB.BC\)
=>OB2+OC2=HB.BC+HC.BC=BC2
=>4(OB2+OC2)=4BC2(3)
Từ 2 và 3 => AB2+AC2=5BC2
