Do bđt đồng bật nên ta đồng hóa được \(a+b+c=3\)
Do đó ta cần chứng minh: \(\dfrac{a}{\sqrt{a+2b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+2c}}+\dfrac{c}{\sqrt{c+2a}}\ge\sqrt{3}\)
Ta có đánh giá sau: \(\dfrac{a}{\sqrt{3\left(a+2b\right)}}\ge\dfrac{a}{\dfrac{3+a+2b}{2}}=\dfrac{2a}{a+2b+3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a+2b}}\ge\dfrac{2\sqrt{3}a}{a+2b+3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{3\left(b+2c\right)}}\ge\dfrac{2\sqrt{3}b}{b+2c+3},\dfrac{c}{\sqrt{c+2a}}\ge\dfrac{2\sqrt{3}c}{c+2a+3}\)
Khi đó: \(VT\ge2\sqrt{3}\left(\dfrac{a}{a+2b+3}+\dfrac{b}{b+2c+3}+\dfrac{c}{c+2a+3}\right)\)
Biến đổi: \(M=\sum\dfrac{a}{a+2b+3}=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3a}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3b}+\dfrac{c^2}{c^2+2ca+3c}\)
Theo Cauchy-schwarz: \(M\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge2\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}=\sqrt{3}\)
Điều phải chứng minh
Cho mình sửa lại chô "đồng hóa" thành "chuẩn hóa" nhé
