Toán

a) Xét tứ giác BFDH có:

BF = DH (giả thiết).

BF // DH (do ABCD hình vuông).

=> BFDH hình bình hành.

Theo GT: O là giao điểm của AC và BD.

Do đó O thuộc FH (vì BD và HF giao điểm của hình bình hành BFDH)

Vậy ba điểm F, O, H thẳng hàng.

b) Theo cmt câu a F, O, H thẳng hàng.

O trung điểm hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD.

=> H, F lần lượt là trung điểm của AD và BC.

Xét ΔBEF=ΔCFG có:

+ Góc EBF = Góc FCG

+ BF = CG

=> ΔBEF=ΔCFG (cgv – cgv) nên EF = FG.

Chứng minh tương tự FG = GH, GH = HE

=> EF = FG = GH = HE.

=> EFGH là hình vuông.

Xét tứ giác AECG có:

AE = CG (giả thiết).

AE // CG (do ABCD hình vuông).

=> AECG hình bình hành.

Theo GT: O là giao điểm của AC và BD.

Do đó O thuộc EG (vì BD và EG giao điểm của hình bình hành AECG)

Xét Hình vuông EFGH có:

O thuộc HF

O thuộc EG

=> O cách đều bốn điểm E, F, G, H.

a: Thay x=-1 vào y=x², ta được:

\(y=\left(-1\right)^2=1\)

Thay x=2 vào y=x^2, ta được:

\(y=2^2=4\)

Vậy: A(-1;1); B(2;4)

Thay x=-1 và y=1 vào y=mx+n, ta được:

\(m\cdot\left(-1\right)+n=1\)

=>-m+n=1(1)

Thay x=2 và y=4 vào y=mx+n, ta được:

\(m\cdot2+n=4\)

=>2m+n=4(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}-m+n=1\\2m+n=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-m+n-2m-n=1-4\\m-n=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3m=-3\\n=m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\n=1+1=2\end{matrix}\right.\)

b: Khi m=1 và n=2 thì y=m*x+n=x+2

=>x-y+2=0

Độ dài đường cao OH của ΔOAB sẽ là khoảng cách từ O(0;0) đến (d)

=>\(OH=\dfrac{\left|0\cdot1+0\left(-1\right)+2\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\sqrt{2}\)

a:

Ta có: ABCD là hình chữ nhật

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔACE có

O,M lần lượt là trung điểm của AC,AE

=>OM là đường trung bình của ΔACE
=>OM//CE và \(OM=\dfrac{1}{2}CE\)

Xét tứ giác OMEC có OM//CE

nên OMEC là hình thang

b: Xét tứ giác CFEH có \(\widehat{CFE}=\widehat{CHE}=\widehat{HCF}=90^0\)

nên CFEH là hình chữ nhật

=>CE=HF

mà CE=2OM

nên HF=2OM

d1: \(\dfrac{x-7}{2}=\dfrac{y+5}{-1}\)

=>-(x-7)=2(y+5)

=>-x+7=2y+10

=>-x-2y-3=0

=>x+2y+3=0

=>VTPT là (1;2)

=>VTCP là (-2;1)

Phương trình tham số của đường thẳng d là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=3-2t\\y=-4+t\end{matrix}\right.\)

\(\text{Δ}=\left[-\left(2m+5\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(-2m-6\right)\)

\(=\left(2m+5\right)^2+4\left(2m+6\right)\)

\(=4m^2+20m+25+8m+24\)

\(=4m^2+28m+49=\left(2m+7\right)^2\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>\(\left(2m+7\right)^2>0\)

=>\(2m+7\ne0\)

=>\(m\ne-\dfrac{7}{2}\)

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2m+5;x_1x_2=\dfrac{c}{a}=-2m-6\)

\(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=7\)

=>\(\left(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right)^2=49\)

=>\(x_1^2+x_2^2+2\left|x_1x_2\right|=49\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\left|x_1x_2\right|=49\)

=>\(\left(2m+5\right)^2-2\left(-2m-6\right)+2\left|-2m-6\right|=49\)

=>\(\left(2m+5\right)^2+2\left(2m+6\right)+2\left|2m+6\right|=49\)(1)

TH1: m>=-3

(1) sẽ trở thành \(\left(2m+5\right)^2+2\left(2m+6\right)+2\left(2m+6\right)=49\)

=>\(4m^2+20m+25+4\left(2m+6\right)-49=0\)

=>\(4m^2+20m-24+8m+24=0\)

=>\(4m^2+28m=0\)

=>\(m^2+7m=0\)

=>m(m+7)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=0\left(nhận\right)\\m=-7\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: m<-3

(1) sẽ trở thành \(\left(2m+5\right)^2+2\left(2m+6\right)+2\left(-2m-6\right)=49\)

=>\(\left(2m+5\right)^2=49\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2m+5=7\\2m+5=-7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(loại\right)\\m=-6\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\cdot...\cdot\left(1-\dfrac{1}{100^2}\right)\)

\(=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\cdot...\cdot\left(1-\dfrac{1}{100}\right)\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\cdot...\cdot\left(1+\dfrac{1}{100}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot...\cdot\dfrac{99}{100}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot...\cdot\dfrac{101}{100}\)

\(=\dfrac{1}{100}\cdot\dfrac{101}{2}=\dfrac{101}{200}\)

=(1−12)(1−13)⋅...⋅(1−1100)(1+12)(1+13)⋅...⋅(1+1100)=(1−12)(1−13)⋅...⋅(1−1100)(1+12)(1+13)⋅...⋅(1+1100)

=1100⋅1012=101200