Hỏi đáp môn Toán

\(\sqrt{x+4}+\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2x}\left(ĐK:-4\le x\le\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow x+4+1-x+2\sqrt{\left(x+4\right)\left(1-x\right)}=1-2x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{-x^2-3x+4}=-4-2x\left(x\le-2\right)\)

\(\Leftrightarrow-4x^2-12x+16=16+16x+4x^2\)

\(\Leftrightarrow8x^2+28x=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(loai\right)\\x=-\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy x=-3,5

Áp dụng BĐT \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\Leftrightarrow x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{3\left(x+y+y+z+z+x\right)}=\sqrt{6\left(x+y+z\right)}=\sqrt{6}\)

\(Q_{max}=\sqrt{6}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của Phạm Minh Quang - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Ta có: \(x+y=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=-y\\y-1=-x\end{matrix}\right.\)

P = \(\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=\frac{\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)}{x^2y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{xy}=\frac{xy+x+y+1}{xy}=1+\frac{2}{xy}\)

\(\ge1+\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=1+8=9\)

Dấu"=''\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy minP = 9\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

a/ Có

\(P=5x^2+4xy-6x+y^2+2030\)

\(=\left(4x^2+4xy+y^2\right)+\left(x^2-6x+9\right)+2021\)

\(=\left(2x+y\right)^2+\left(x-3\right)^2+2021\ge2021\forall x;y\)

(Do \(\left(2x+y\right)^2\ge0;\left(x-3\right)^2\ge0\forall x;y\))

\(\Rightarrow Min_P=2021\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-6\end{matrix}\right.\)

b/A = \(a^5-5a^3+4a\)

\(=a\left(a^4-5a^2+4\right)\)

\(=a\left(a^2-4\right)\left(a^{2-1}\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)

Ta thấy A là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên trong 5 thừa số này chắc chắn có một thừa số chia hết cho 5. Vậy A chia hết cho 5.

Mặc khác, trong 5 số tự nhiên liên tiếp chắc chắn có một số chia hết cho 3, vậy A cũng chia hết cho 3.

Do A chia hết cho 3 và 5 nên A chia hết cho BCNN(3;5) do đó A chia hết cho 15.

Mặt khác trong 4 số tự nhiên liên tiếp chắc chắn có 2 số chẵn, và trong 2 số chẵn đó chắc chắn có một số chia hết cho 4. Vậy trong 5 thừa số chắc chắn có một thừa số chia hết cho 4 và một thừa số chia hết cho 2. Do đó A chia hết cho 8.

Do A chia hết cho 8 và 15 nên A chia hết cho BCNN(8,15)=120.

Vậy A chia hết cho 120.

Tham khảo....

a) Ta có: \(x\left(x-2\right)-x^2+3x=4\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-x^2+3x=4\)

\(\Leftrightarrow x=4\)

Vậy: x=4

b) Ta có: \(3x^2-3x=\left(x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3x-x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\2x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\2x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(x\in\left\{1;-\frac{1}{2}\right\}\)

c) Ta có: \(\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)-x\left(x-2\right)^2=-12\)

\(\Leftrightarrow x^3+8-x\left(x^2-4x+4\right)+12=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+8-x^3+4x^2-4x+12=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-4x+20=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-2\cdot2x\cdot1+1+19=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2+19=0\)(Vô lý)

Vậy: \(x\in\varnothing\)

a) Ta có: \(a^2-2a+ab-2b\)

\(=a\left(a-2\right)+b\left(a-2\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a+b\right)\)

b) Ta có: \(a^3+6a^2+9a-ab^2\)

\(=a\left(a^2+6a+9-b^2\right)\)

\(=a\left[\left(a+3\right)^2-b^2\right]\)

\(=a\left(a+3-b\right)\left(a+3+b\right)\)

c) Ta có: \(a^3+10-3\left(2-a^3\right)\)

\(=a^3+10-6+3a^3\)

\(=4a^3+4\)

\(=4\left(a^2+1\right)\)

a/ Xét \(\Delta ABC\) có M, E là trung điểm AB ; BC

=> ME là đường tb \(\Delta ABC\)

=> ME // AC ; \(ME=\frac{1}{2}AC\) (đ/l)
Mà N là trđ AC (GT)

=> ME // AN ; ME = AN
=> Tứ giác AMEN là hbh

b/ Xét \(\Delta ABC\) cân tại A có E là trđ BC
=> AE đồng thời là tia pg \(\widehat{BAC}\) (t/c tam giác cân)
Hay AE là tia pg \(\widehat{MAN}\) (do M thuộc AB , N thuộc AC)

Hình bình hành AMEN có AE là tia pg \(\widehat{MAN}\) nên tứ giác AMEN là hình thoi

Ta có: \(\sqrt{8.1\cdot3.6\cdot2.25}\)

\(=\sqrt{\frac{81}{10}\cdot\frac{36}{10}\cdot\frac{225}{100}}\)

\(=\sqrt{\frac{81\cdot36}{100}\cdot\frac{225}{100}}\)

\(=\sqrt{\frac{81\cdot36}{100}}\cdot\sqrt{\frac{225}{100}}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{9\cdot6}{10}\right)^2}\cdot\sqrt{\left(\frac{15}{10}\right)^2}\)

\(=\frac{9\cdot6}{10}\cdot\frac{15}{10}\)

\(=\frac{9\cdot3}{5}\cdot\frac{3}{2}\)

\(=\frac{81}{10}\)

:(((((((((((((((((((((((((((

a/ \(=6x^4-15x^3-12x^2\)

b/ \(=-5x^4+8y^3+x^3y\)

Áp dụng BDT Cô-si: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\\ ab+1\ge2\sqrt{ab}\\ \Rightarrow\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{ab}=4ab\left(đpcm\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số a và b không âm:

\(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4\left(\sqrt{ab}\right)^2=4ab\)(đpcm)

a) ĐKXĐ: \(x\ge-1\)

Ta có: \(\sqrt{\left(\sqrt{x+1}\right)^2}=2\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x+1}\right|=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=2\)

\(\Leftrightarrow x+1=4\)

hay x=3(nhận)

Vậy: x=3

b)ĐKXĐ: \(x\ge\frac{2}{3}\)

Ta có: \(\sqrt{3x-2}-5=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3x-2}=3+5=8\)

\(\Leftrightarrow3x-2=64\)

\(\Leftrightarrow3x=66\)

hay x=22(nhận)

Vậy: x=22

c)ĐKXĐ: \(x\in R\)

Ta có: \(\sqrt{9x^2-6x+1}=2+\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(3x-1\right)^2}=2+\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\left|3x-1\right|=2+\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-1=2+\sqrt{3}\\1-3x=2+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-1-2-\sqrt{3}=0\\1-3x-2-\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-3-\sqrt{3}=0\\-3x-1-\sqrt{3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=3+\sqrt{3}\\-3x=1+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{3+\sqrt{3}}{3}\left(nhận\right)\\x=\frac{-1-\sqrt{3}}{3}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(x\in\left\{\frac{3+\sqrt{3}}{3};\frac{-1-\sqrt{3}}{3}\right\}\)

Vì ΔABC vuông tại A

⇒ \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\) (1)

Vì AH là đường cao của ΔABC

⇒ AH ⊥ BC

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{ ΔABH vuông tại H}\\\text{ ΔACH vuông tại H}\end{matrix}\right.\)

Vì I là trung điểm của AB

⇒ HI là đường trung tuyến của ΔABH

mà ΔABH vuông tại H

⇒ HI = AI = BI = \(\dfrac{1}{2}\)AB

Vì IB = IH

⇒ ΔBIH cân tại I

⇒ \(\widehat{B}=\widehat{IHB}\) (2)

Vì K là trung điểm của AC

⇒ HK là đường trung tuyến của ΔACH

mà ΔACH vuông tại H

⇒ HK = AK = KC = \(\dfrac{1}{2}\)AC

Vì HK = KC

⇒ ΔKHC cân tại K

⇒ \(\widehat{KHC}=\widehat{C}\) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ \(\widehat{IHB}+\widehat{KHC}=90^0\)

Ta có \(\widehat{IHB}+\widehat{IHK}+\widehat{KHC}=90^0\)

⇒ \(\widehat{IHK}+90^0=180^0\)

⇒ \(\widehat{IHK}=90^0\)

Vậy \(\widehat{IHK}=90^0\)

\(\widehat{IHK}=\widehat{IHA}+\widehat{AHK}\)

\(=\widehat{IAH}+\widehat{HAK}=90^0\)