Tứ giác

a: ABCD là hình thoi

=>AC vuông góc với BD tại trung điểm của mỗi đường

=>AC vuông góc BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

Xét tứ giác OBKC có

OB//KC

BK//OC

Do đó: OBKC là hình bình hành

Hình bình hành OBKC có \(\widehat{BOC}=90^0\)

nên OBKC là hình chữ nhật

b: OBKC là hình chữ nhật

=>OK=BC

mà BC=AB(ABCD là hình thoi)

nên OB=AB

OBKC là hình chữ nhật

=>OB//KC và OB=KC

OB=KC

OB=OD

Do đó: OD=KC

OB//KC

O\(\in\)BD

Do đó: OD//KC

Xét tứ giác ODCK có

OD//CK

OD=CK

Do đó: ODCK là hình bình hành

=>DC=OK

c: Để hình chữ nhật OBKC trở thành hình vuông thì OB=OC

mà \(OB=\dfrac{BD}{2};OC=\dfrac{AC}{2}\)

nên AC=BD

a: Xét ΔABC có

E là trung điểm của BC

D là trung điểm của BA

Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC

=>ED//AC và \(ED=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: ED//AC

F\(\in\)ED

Do đó: EF//AC

Ta có: ED//AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: ED\(\perp\)AB

=>EF\(\perp\)AB

Ta có: \(ED=\dfrac{AC}{2}\)

\(ED=\dfrac{EF}{2}\)

Do đó: AC=EF

Xét tứ giác AEBF có

D là trung điểm chung của AB và EF

=>AEBF là hình bình hành

Hình bình hành AEBF có AB\(\perp\)EF

nên AEBF là hình thoi

b: Xét tứ giác ECAF có

FE//AC

FE=AC

Do đó: ECAF là hình bình hành

c: ta có: ECAF là hình bình hành

=>EA cắt FC tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của EA

nên M là trung điểm của FC

=>C,M,F thẳng hàng

d: Ta có: \(DF=\dfrac{EF}{2}\)

\(CN=\dfrac{CA}{2}\)

mà EF=CA

nên DF=CN

Xét tứ giác DFNC có

DF//NC

DF=NC

Do đó: DFNC là hình bình hành

=>DN cắt FC tại trung điểm của mỗi đường

mà M là trung điểm của CF

nên M là trung điểm của DN

Xét tứ giác ADEN có

M là trung điểm chung của AE và DN

=>ADEN là hình bình hành

Hình bình hành ADEN có \(\widehat{DAN}=90^0\)

nên ADEN là hình chữ nhật

e: Khi BEAF là hình vuông thì \(\widehat{AEB}=90^0\)

=>AE\(\perp\)EB tại E

=>AE\(\perp\)BC tại E

Xét ΔABC có

AE là đường cao

AE là đường trung tuyến

Do đó: ΔABC cân tại A

Xét ΔABC cân tại A có \(\widehat{BAC}=90^0\)

nên ΔABC vuông cân tại A

=>Điều này đúng

Ta có: ΔABC cân tại A

mà AE là đường trung tuyến

nên AE là phân giác của góc BAC

Hình chữ nhật ADEN có AE là phân giác của góc DAN

nên ADEN là hình vuông

a: Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//BC và \(DE=\dfrac{1}{2}BC\)

Xét tứ giác BDEC có DE//BC

nên BDEC là hình thang

b: Xét ΔABC có

D,F lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>DF là đường trung bình của ΔABC

=>DF//AC và \(DF=\dfrac{AC}{2}\)

DF//AC

E\(\in\)AC

Do đó: DF//AE

Ta có: \(DF=\dfrac{AC}{2}\)

\(AE=\dfrac{AC}{2}\)

Do đó: DF=AE

Xét tứ giác ADFE có

DF//AE

DF=AE

Do đó: ADFE là hình bình hành

Xét tứ giác AFBI có

D là trung điểm chung của AB và FI

=>AFBI là hình bình hành

Hình vẽ:

Lời giải:

a. Do $D$ là trung điểm $AB$, $E$ là trung điểm $AC$ nên $DE$ là đường trung bình ứng với cạnh $BC$ của tam giác $ABC$

$\Rightarrow DE\parallel BC$

$\Rightarrow DECB$ là hình thang.

b. $E,F$ lần lượt là trung điểm $AC, BC$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình ứng với cạnh $AB$

$\Rightarrow EF\parallel AB$ và $EF=AB:2$

$\Rightarrow EF\parallel AD$ và $EF=AD$

$\Rightarrow AEFD$ là hình bình hành (tứ giác có 2 cạnh đối song song và bằng nhau)

Tứ giác $AFBI$ có 2 đường chéo $FI, AB$ cắt nhau tại trung điểm $D$ của mỗi đường nên $AFBI$ là hbh.

a: Xét tứ giác ADME có

\(\widehat{ADM}=\widehat{AEM}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADME là hình chữ nhật

=>AM=DE

b:

MD\(\perp\)AB

AC\(\perp\)AB

Do đó: MD//AC

ME\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: ME//AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó: D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

Xét ΔBAC có

M,D lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MD là đường trung bình của ΔBAC

=>MD//AC và \(MD=\dfrac{AC}{2}\)

\(MD=\dfrac{AC}{2}\)

\(CE=\dfrac{AC}{2}\)

Do đó: MD=CE

MD//AC

\(E\in\)AC

Do đó: MD//CE

Xét tứ giác DMCE có

DM//CE

DM=CE

Do đó: DMCE là hình bình hành

c: Xét ΔABC có

D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DE là đường trung bình của ΔABC

=>DE//BC

=>DE//HM

ΔHAC vuông tại H

mà HE là đường trung tuyến

nên \(HE=\dfrac{AC}{2}\)

mà \(MD=\dfrac{AC}{2}\)

nên HE=MD

Xét tứ giác DHME có

ED//MH

=>DHME là hình thang

Hình thang DHME có MD=HE

nên DHME là hình thang cân

DM và DE là hai tia đối nhau

=>D nằm giữa M và E

mà DM=DE

nên D là trung điểm của ME

Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

Xét tứ giác AMBE có

D là trung điểm chung của AB và ME

=>AMBE là hình bình hành

Hình bình hành AMBE có MA=MB

nên AMBE là hình thoi

a: Xét tứ giác ABCD có

M là trung điểm chung của AC và BD

=>ABCD là hình bình hành

b: Xét tứ giác AEBC có

N là trung điểm chung của AB và EC

=>AEBC là hình bình hành

=>AE//BC

a: Xét ΔABC có

E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>EF là đường trung bình của ΔABC

b: Xét ΔABC có

E,J lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>EJ là đường trung bình của ΔABC

=>EJ//AC và \(EJ=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: EJ//AC

F\(\in\)AC

Do đó: EJ//AF

Ta có: \(EJ=\dfrac{AC}{2}\)

\(AF=\dfrac{AC}{2}\)

Do đó: JE=AF

Xét tứ giác AEJF có

AF//EJ

AF=EJ

Do đó: AEJF là hình bình hành

=>AJ cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>S là trung điểm chung của AJ và EF

Lời giải:
a. $M,E$ là trung điểm $BC, AC$

$\Rightarrow ME$ là đường trung bình của $ABC$ ứng với $AB$

$\Rightarrow ME\parallel AB$

Mà $AB\perp AC$ nên $ME\perp AC$

$\Rightarrow \widehat{E}=90^0$

Tứ giác $ADME$ có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0$ nên là hcn.

b.

Tứ giác $AMKC$ có 2 đường chéo $AC, MK$ cắt nhau tại trung điểm $E$ của mỗi đường nên là hình bình hành.

Mà $MK\perp AC$ (do $ME\perp AC$) 

$\Rightarrow AMKC$ là hình thoi.

c.

Gọi I là giao $DE, HM$

$DM\perp AB, AB\perp AC\Rightarrow DM\parallel AC$

$\Rightarrow \frac{DB}{AD}=\frac{BM}{MC}=1$ (định lý Talet)

$\Rightarrow DB=AD$ hay $D$ là trung điểm $AB$

$ME$ là đường trung bình ứng với cạnh AB

$\Rightarrow ME\parallel AB$ và $ME=\frac{1}{2}AB$

Mà $E$ là trung điểm của $MK$

$\Rightarrow EK\parallel AB$ và $EK=AB:2$

$\Rightarrow EK\parallel DA$ và $EK=DA$

$\Rightarrow DEKA$ là hbh

$\Rightarrow DE\parallel AK$

Mà $HM\perp AK$ nên $DE\perp HM(*)$

Lại có:

$DE\parallel AK \Rightarrow IE\parallel HK$

$\Rightarrow \frac{MI}{IH}=\frac{ME}{EK}=1$

$\Rightarrow MI=IH(**)$

Từ $(*); (**)$ suy ra $DE\perp HM$ tại trung điểm $I$ của $HM$

$\Rightarrow DE$ là đường trung trực của $HM$

$\Rightarrow DH=DM, EH=EM$

$\Rightarrow \triangle DHE=\triangle DME$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{DHE}=\widehat{DME}=90^0$

$\Rightarrow DH\perp HE$