Phân thức đại số

a: Thay x=1 và y=2 vào y=ax+1, ta được:

\(a\cdot1+1=2\)

=>a+1=2

=>a=1

b: Thay x=-1/3 và y=0 vào y=ax+1, ta được:

\(-\dfrac{1}{3}a+1=0\)

=>\(-\dfrac{1}{3}a=-1\)

=>a=3

c: Thay x=-4/3 vào \(y=\dfrac{1}{2}x-1\), ta được:

\(y=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{-4}{3}-1=-\dfrac{2}{3}-1=-\dfrac{5}{3}\)

Thay \(x=-\dfrac{4}{3};y=-\dfrac{5}{3}\) vào y=ax+1, ta được:

\(a\cdot\dfrac{-4}{3}+1=-\dfrac{5}{3}\)

=>\(a\cdot\dfrac{-4}{3}=-\dfrac{8}{3}\)

=>a=2

d: Thay y=2 vào (d2), ta được:

\(\dfrac{1}{2}x-1=2\)

=>\(\dfrac{1}{2}x=3\)

=>x=6

Thay x=6 và y=2 vào (d1), ta được:

\(a\cdot6+1=2\)

=>6a=1

=>\(a=\dfrac{1}{6}\)

Bài 3:

a: Gọi hàm số cần tìm có dạng là y=ax+b(a<>0)

Vì hệ số góc là -1 nên a=-1

=>y=-x+b

Thay x=0 và y=1 vào y=-x+b, ta được:

b-0=1

=>b=1

=>y=-x+1

b: Gọi hàm số cần tìm có dạng là y=ax+b(a<>0)

Hệ số góc của y=2x-1 nên a=2

=>y=2x+b

Thay x=1 và y=3 vào y=2x+b, ta được:

\(2\cdot1+b=3\)

=>b+2=3

=>b=1

=>y=2x+1

c: Đặt (d1): y=-x+1; (d2): y=2x+1

Bảng giá trị:

Vẽ đồ thị:

d: Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-x+1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: A(1;0)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-x+1=-0+1=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: B(0;1)

Vì Ox\(\perp\)Oy

nên OA\(\perp\)OB

=>ΔOAB vuông tại O

O(0;0); A(1;0); B(0;1)

\(OA=\sqrt{\left(1-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=1\)

\(OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(1-0\right)^2}=1\)

\(AB=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(1-0\right)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\)

Chu vi tam giác OAB là:

\(1+1+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}\)

Ta có: ΔOAB vuông tại O

=>\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\)

Bài 2:

y=(m-2)x+m-3

=mx-2x+m-3

=m(x+1)-2x-3

Tọa độ điểm cố định mà đường thẳng y=(m-2)x+m-3 luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y=-2x-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-2\cdot\left(-1\right)-3=2-3=-1\end{matrix}\right.\)

=>A(-1;-1) là điểm cố định mà đường thẳng y=(m-2)x+m-3 luôn đi qua

Câu 2:

a: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}\)

=>\(\dfrac{DB}{15}=\dfrac{DC}{20}\)

=>\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}\)

mà DB+DC=BC=25cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{DB}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{DB+DC}{3+4}=\dfrac{25}{7}\)

=>\(DB=\dfrac{25}{7}\cdot3=\dfrac{75}{7}\left(cm\right);DC=\dfrac{25}{7}\cdot4=\dfrac{100}{7}\left(cm\right)\)

Xét ΔCAB có ED//AB

nên \(\dfrac{ED}{AB}=\dfrac{CD}{CB}\)

=>\(\dfrac{ED}{15}=\dfrac{4}{7}\)

=>\(ED=\dfrac{4}{7}\cdot15=\dfrac{60}{7}\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABC có \(AB^2+AC^2=BC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot15\cdot20=10\cdot15=150\left(cm^2\right)\)

Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\)

=>\(AH\cdot25=2\cdot150=300\)

=>\(AH=\dfrac{300}{25}=12\left(cm\right)\)

c: Ta có: \(\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{75}{7}:25=\dfrac{3}{7}\)

=>\(S_{ABD}=\dfrac{3}{7}\cdot S_{ABC}=\dfrac{3}{7}\cdot150=\dfrac{450}{7}\left(cm^2\right)\)

=>\(S_{ACD}=S_{ABC}-S_{ABD}=150-\dfrac{450}{7}=\dfrac{600}{7}\left(cm^2\right)\)

Xét ΔCAB có ED//AB

nên \(\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{ED}{AB}=\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{4}{7}\)

=>\(S_{CED}=\dfrac{4}{7}\cdot S_{CAD}=\dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{600}{7}=\dfrac{2400}{49}\left(cm^2\right)\)

Ta có: \(S_{CDE}+S_{AED}=S_{CAD}\)

=>\(S_{AED}=\dfrac{3}{7}\cdot S_{CAD}=\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{600}{7}=\dfrac{1800}{49}\left(cm^2\right)\)

Bài 1:

a: 

b: Để (d1)//(d2) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m-2=2\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=4\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

=>m=4

c: Thay x=2 và y=-3 vào (d1), ta được:

\(2\left(m-2\right)+m=-3\)

=>2m-4+m=-3

=>3m=-3+4=1

=>\(m=\dfrac{1}{3}\)

d: Để (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung thì

\(\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne2\\m=1\end{matrix}\right.\)

=>m=1

e: ĐKXĐ: \(a\notin\left\{-1;1\right\}\)

\(\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{2a^2}{1-a^2}\)

\(=\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{2a^2}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\)

\(=\dfrac{a\left(a-1\right)-a\left(a+1\right)+2a^2}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}\)

\(=\dfrac{a^2-a-a^2-a+2a^2}{\left(a+1\right)\left(a-1\right)}=-\dfrac{2a}{a^2-1}\)

g: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{2;-2\right\}\)

\(\dfrac{4}{x+2}+\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{5x-6}{4-x^2}\)

\(=\dfrac{4}{x+2}+\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{5x-6}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{4\left(x-2\right)+2\left(x+2\right)-5x+6}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{4x-8+2x+4-5x+6}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{1}{x-2}\)

h: ĐKXĐ: x<>1

\(\dfrac{x^2+2}{x^3-1}+\dfrac{2}{x^2+x+1}-\dfrac{1}{x-1}\)

\(=\dfrac{x^2+2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\dfrac{2}{x^2+x+1}-\dfrac{1}{x-1}\)

\(=\dfrac{x^2+2+2\left(x-1\right)-x^2-x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(=\dfrac{-x+1+2x-2}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\dfrac{1}{x^2+x+1}\)

\(\dfrac{5xy^2-2z}{3xy}+\dfrac{5y^2x+2z}{3xy}=\dfrac{5xy^2-2z+5y^2x+2z}{3xy}\)

\(=\dfrac{5x^2y+5y^2x}{3xy}=\dfrac{5xy\left(x+y\right)}{3xy}=\dfrac{5\left(x+y\right)}{3}\)

d.

\(\dfrac{5}{6x^2y}+\dfrac{7}{12xy^2}+\dfrac{11}{18xy}=\dfrac{30y}{36x^2y^2}+\dfrac{21x}{36x^2y^2}+\dfrac{22xy}{36x^2y^2}\)

\(=\dfrac{22xy+21x+30y}{36x^2y^2}\)

\(\dfrac{y-1}{12y}+\dfrac{2y+7}{12y}+\dfrac{6-3y}{12y}=\dfrac{y-1+2y+7+6-3y}{12y}=\dfrac{12}{12y}=\dfrac{1}{y}\)

\(\dfrac{3x+8}{x+7}-\dfrac{x-6}{x+7}=\dfrac{3x+8-\left(x-6\right)}{x+7}=\dfrac{3x+8-x+6}{x+7}=\dfrac{2x+14}{x+7}=\dfrac{2\left(x+7\right)}{x+7}=2\)

Bài 1:

a: Để (d1) là hàm số bậc nhất thì \(m-1\ne0\)

=>\(m\ne1\)

Để (d2) là hàm số bậc hai thì \(m+2\ne0\)

=>\(m\ne-2\)

b: Để (d1)//(d2) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m-1=m+2\\2\ne3\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>m-1=m+2

=>-1=2(sai)

=>\(m\in\varnothing\)

Để (d1) cắt (d2) thì \(m-1\ne m+2\)

=>\(-3\ne0\)(đúng)

=>\(m\in R\)

c: Thay x=1 và y=3 vào (d1), ta được:

\(1\left(m-1\right)+2=3\)

=>m-1+2=3

=>m+1=3

=>m=2

Hệ số góc của (d1) là 2-1=1

d: Để (d2)//(d3) thì \(\left\{{}\begin{matrix}m+2=1\\3\ne-1\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>m+2=1

=>m=-1

Hệ số góc của (d2) là m+2=-1+2=1

Bài 2:

a: Xét ΔAED và ΔABC có

\(\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)(hai góc so le trong, ED//BC)

\(\widehat{EAD}=\widehat{BAC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó; ΔAED~ΔABC

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{ED}{BC}\)

=>\(\dfrac{3}{5}=\dfrac{DE}{8}\)

=>\(DE=3\cdot\dfrac{8}{5}=3\cdot1,6=4,8\)

b: Xét ΔAEI và ΔABK có

\(\widehat{AEI}=\widehat{ABK}\)(hai góc so le trong, EI//BK)

\(\widehat{EAI}=\widehat{BAK}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔAEI đồng dạng với ΔABK

=>\(\dfrac{EI}{BK}=\dfrac{AE}{AB}\)

mà \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}\)

nên \(\dfrac{EI}{BK}=\dfrac{AD}{AC}\)

c: Xét ΔAID và ΔAKC có

\(\widehat{AID}=\widehat{AKC}\)(hai góc so le trong, ID//KC)

\(\widehat{IAD}=\widehat{KAC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔAID~ΔAKC

=>\(\dfrac{ID}{KC}=\dfrac{AD}{AC}\)

=>\(\dfrac{ID}{KC}=\dfrac{EI}{BK}\)

=>\(\dfrac{IE}{ID}=\dfrac{BK}{KC}\)

Bài 1:

a: Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: \(MN=\dfrac{AC}{2}\)

=>\(AC=2\cdot MN\)

=>\(2x+3=2\cdot7=14\)

=>2x=11

=>x=5,5(cm)

b: Xét ΔABD có

M,H lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MH là đường trung bình của ΔABD

=>MH=BD/2 và MH//BD

MH=BD/2

=>BD=2MH

=>\(10=2\left(5x-5\right)\)

=>\(5x-5=5\)

=>5x=10

=>x=2(cm)

c: Xét ΔDAC có

H,I lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>HI là đường trung bình của ΔDAC

=>HI//AC và \(HI=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: MN//AC

HI//AC

Do đó: MN//HI

Ta có: \(MN=\dfrac{AC}{2}\)

\(HI=\dfrac{AC}{2}\)

Do đó: MN=HI

Xét tứ giác MNIH có

MN//IH

MN=IH

Do đó: MNIH là hình bình hành

d: Để MNIH là hình chữ nhật thì MN\(\perp\)MH

ta có: MN\(\perp\)MH

MN//AC

Do đó: MH\(\perp\)AC

Ta có: MH\(\perp\)AC

MH//BD

Do đó: BD\(\perp\)AC

Bài 2:

a: Ta có: \(\widehat{AKC}=\widehat{BAI}\)(hai góc đồng vị, AI//CK)

\(\widehat{ACK}=\widehat{CAI}\)(hai góc so le trong, AI//CK)

mà \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

nên \(\widehat{AKC}=\widehat{ACK}\)

=>ΔAKC cân tại A

b: Xét ΔABC có AI là phân giác

nên \(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{AC}{AB}\)

mà AC=AK

nên \(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AK}{AB}\)

c: Ta có: \(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{AC}{AB}\)

=>\(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)

=>\(\dfrac{IC}{3}=\dfrac{IB}{4}\)

mà IC+IB=BC=21

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{IC}{3}=\dfrac{IB}{4}=\dfrac{IC+IB}{3+4}=\dfrac{21}{7}=3\)

=>\(IC=3\cdot3=9\left(cm\right);IB=4\cdot3=12\left(cm\right)\)

Bài 1:

a: (d1): y=3x

Vì a=3>0

nên góc tạo bởi (d1) với trục Ox là góc nhọn

(d2): y=-x+1

Vì a=-1<0

nên góc tạo bởi (d2) với trục Ox là góc tù

(d3): y=2x-1

Vì a=2>0

nên góc tạo bởi (d3) với trục Ox là góc nhọn

(d4): y=3x+2

Vì a=3>0

nên góc tạo bởi (d4) với trục Ox là góc nhọn

(d5): y=-x-1

Vì a=-1<0

nên góc tạo bởi (d5) với trục Ox là góc tù

b: (d1): y=3x

=>a=3

=>\(tan\alpha_1=3\)

(d2): y=-x+1

=>a=-1

=>\(tan\alpha_2=-1\)

(d3): y=2x-1

=>a=2

=>\(tan\alpha_3=2\)

(d4): y=3x+2

=>a=3

=>\(tan\alpha_4=3\)

(d5): y=-x-1

=>a=-1

=>\(tan\alpha_5=-1\)

Vì \(0< tan\alpha_3< tan\alpha_1=tan\alpha_4\)

nên \(0< \alpha_3< \alpha_1=\alpha_4< 90^0\)

Vì \(0>tan\alpha_2=tan\alpha_5\)

nên \(90^0< \alpha_2=\alpha_5< 180^0\)

=>\(\alpha_3< \alpha_1=\alpha_4< \alpha_2=\alpha_5\)

c: Vì \(\alpha_1=\alpha_4\)

nên (d1)//(d4)

Vì \(\alpha_2=\alpha_5\)

nên (d2)//(d5)

d:

Vì \(3\ne-1\)

nên (d1) sẽ cắt (d2) và (d1) sẽ cắt (d5)

Vì \(3\ne2\)

nên (d1) sẽ cắt (d3)

e:

Để hai đường thẳng \(y=a_1x+b_1;y=a_2x+b_2\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì

\(\left\{{}\begin{matrix}a_1\ne a_2\\b_1=b_2\end{matrix}\right.\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}2\ne-1\\-1=-1\end{matrix}\right.\)

nên (d3) sẽ cắt (d5) tại một điểm trên trục tung