Phân thức đại số

Bài 1

a) (x - 4)/7 + (6x + 4)/7

= (x - 4 + 6x + 4)/7

= 7x/7

= x

b) Đề thiếu

c) (3x - 2)/(x + 1) - (2x - 1)/(x + 1)

= (3x - 2 - x + 1)/(x + 1)

= (2x - 1)/(x + 1)

d) (x + y)/(3x) + (x - 2y)/(3x)

= (x + y + x - 2y)/(3x)

= (2x - y)/(3x)

Bài 2:

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{1;-1\right\}\)

\(\dfrac{x+1}{2x-2}+\dfrac{-2x}{x^2-1}\)

\(=\dfrac{x+1}{2\left(x-1\right)}-\dfrac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x+1\right)^2-4x}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)^2}{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{x-1}{2\left(x+1\right)}\)

b: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{0;1;-1\right\}\)

\(\dfrac{x^3-1}{x^2-x}-\dfrac{x^3+1}{x^2+x}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x\left(x-1\right)}-\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x\left(x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+x+1}{x}-\dfrac{x^2-x+1}{x}\)

\(=\dfrac{x^2+x+1-x^2+x-1}{x}=\dfrac{2x}{x}=2\)

Câu 15:

a: Xét ΔAOB và ΔCOD có

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{OBA}=\widehat{ODC}\)(hai góc so le trong, BA//CD)

Do đó: ΔAOB~ΔCOD

b: Xét ΔKDH có AE//DH

nên \(\dfrac{AE}{DH}=\dfrac{KE}{KH}=\dfrac{KA}{KD}\left(1\right)\)

Xét ΔKHC có EB//HC

nên \(\dfrac{EB}{HC}=\dfrac{KE}{KH}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{AE}{DH}=\dfrac{EB}{HC}\)

=>\(AE\cdot HC=EB\cdot HD\)

c: Xét ΔOAE và ΔOCH có

\(\widehat{OAE}=\widehat{OCH}\)(hai góc so le trong, AE//CH)

\(\widehat{AOE}=\widehat{COH}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAE~ΔOCH

=>\(\dfrac{AE}{CH}=\dfrac{OA}{OC}\left(3\right)\)

Ta có: ΔAOB~ΔCOD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}\left(4\right)\)

Xét ΔKDC có AB//CD

nên \(\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{KA}{KD}\left(5\right)\)

Từ (1),(3),(4),(5) suy ra \(\dfrac{AE}{CH}=\dfrac{AE}{DH}\)

=>CH=DH

=>H là trung điểm của CD

Ta có: \(\dfrac{AE}{DH}=\dfrac{EB}{HC}\)

mà HD=HC

nên AE=EB

=>E là trung điểm của AB

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{1}{2}\)

Câu 13:

a) \(A=\left(\dfrac{2x}{x^3+x-x^2-1}-\dfrac{1}{x-1}\right):\left(\dfrac{1+x}{x^2+1}\right)\left(x\ne1;x\ne-1\right)\)

\(A=\left[\dfrac{2x}{x^2\left(x-1\right)+\left(x-1\right)}-\dfrac{1}{x-1}\right]:\left(\dfrac{1+x}{x^2+1}\right)\)

\(A=\left[\dfrac{2x}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}-\dfrac{x^2+1}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}\right]\cdot\dfrac{x^2+1}{x+1}\)

\(A=\dfrac{-x^2+2x-1}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}\cdot\dfrac{x^2+1}{x+1}\)

\(A=\dfrac{-\left(x^2-2x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

\(A=\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\)

\(A=\dfrac{-\left(x-1\right)}{x+1}\) 

b) \(A=\dfrac{2}{7}\) khi \(\dfrac{-\left(x-1\right)}{x+1}=\dfrac{2}{7}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+1\right)=-7\left(x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x+2=-7x+7\)

\(\Leftrightarrow2x+7x=7-2\)

\(\Leftrightarrow9x=5\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{9}\left(tm\right)\)

c) \(B=\dfrac{A}{1-x}=\dfrac{1-x}{x+1}:\left(1-x\right)=\dfrac{1}{x+1}\)

⇒ Để B có giá trị lớn nhất thì \(x+1\) phải có giá trị nhỏ nhất nhưng \(x+1>0\) 

\(\Rightarrow x>-1\) 

Bổ xung: x nguyên 

\(\Rightarrow x=0\)

Vậy: ... 

Bài 16:

Ta có: \(A=\dfrac{x^2-6xy+6y^2}{x^2-2xy+y^2}\)

\(=\dfrac{-3x^2+6xy-3y^2+4x^2-12xy+9y^2}{x^2-2xy+y^2}\)

\(=\dfrac{-3\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(4x^2-12xy+9y^2\right)}{x^2-2xy+y^2}\)

\(=\dfrac{-3\left(x^2-2xy+y^2\right)}{x^2-2xy+y^2}+\dfrac{\left(2x\right)^2-2\cdot2x\cdot3y+\left(3y\right)^2}{x^2-2xy+y^2}\)

\(=-3+\dfrac{\left(2x-3y\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\)

Ta có: \(\dfrac{\left(2x-3y\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\ge0\forall x\ne y\Rightarrow A=-3+\dfrac{\left(2x-3y\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\ge-3\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(2x-3y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}y\) 

Vậy: \(A_{min}=-3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}y\)

Bài 1:

a: Ta có: ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=12^2+16^2=400=20^2\)

=>AB=20(cm)

b: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có

\(\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{HA}{HC}\left(\dfrac{16}{12}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}\right)\)

Do đó: ΔHBA~ΔHAC

=>\(\widehat{HBA}=\widehat{HAC}\)

mà \(\widehat{HAC}+\widehat{C}=90^0\)(ΔHAC vuông tại H)

nên \(\widehat{HBA}+\widehat{C}=90^0\)

=>ΔABC vuông tại A

c: Xét ΔHAB có

M,N lần lượt là trung điểm của HA,HB

=>MN là đường trung bình của ΔHAB

=>MN//AB

Ta có: MN//AB

AB\(\perp\)AC

Do đó: MN\(\perp\)AC

Xét ΔCAN có

NM,AH là các đường cao

NM cắt AH tại M

Do đó: M là trực tâm của ΔCAN

=>CM\(\perp\)AN

Bài 2:

a: Xét ΔAMH vuông tại M và ΔAHB vuông tại H có

\(\widehat{MAH}\) chung

Do đó: ΔAMH~ΔAHB

=>\(\dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AH}{AB}\)

=>\(AH^2=AM\cdot AB\left(1\right)\)

Xét ΔANH vuông tại N và ΔAHC vuông tại H có

\(\widehat{NAH}\) chung

Do đó: ΔANH~ΔAHC

=>\(\dfrac{AN}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\)

=>\(AH^2=AN\cdot AC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AH^2=AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

b: Ta có: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN và ΔACB có

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

\(\widehat{MAN}\) chung

Do đó: ΔAMN~ΔACB

=>\(\widehat{AMN}=\widehat{ACB}\)

16.

\(A=\dfrac{-3\left(x^2-2xy+y^2\right)+4x^2-12xy+9y^2}{x^2-2xy+y^2}=-3+\left(\dfrac{2x-3y}{x-y}\right)^2\ge-3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(2x=3y\)

2: Gọi số thứ nhất là x

Số thứ hai là 56-x

Nếu gấp số thứ hai lên 2 lần thì tổng hai số là 52 nên ta có:

x+2(56-x)=52

=>x+112-2x=52

=>-x=52-112=-60

=>x=60

Vậy: Hai số cần tìm là 60 và 56-60=-4

Bài 3:

Gọi số gạo bán trong ngày thứ I là x(kg)

(Điều kiện: x>0)

Số gạo bán trong ngày thứ II là x+150(kg)

Nếu ngày I bán thêm 50kg gạo thì số gạo ngày I bán bằng 7/9 ngày II nên ta có: \(x+50=\dfrac{7}{9}\left(x+150\right)\)

=>\(9\left(x+50\right)=7\cdot\left(x+150\right)\)

=>9x+450=7x+1050

=>2x=600

=>x=300(nhận)

vậy: Ngày I bán được 300kg; ngày 2 bán được 300+150=450kg

4:

Gọi tuổi con hiện nay là x(tuổi)

(ĐK: x>0)

Tuổi mẹ hiện nay là x+25(tuổi)

Tuổi con 5 năm trước là x-5(tuổi)

Tuổi mẹ 5 năm trước là x+25-5=x+20(tuổi)

Theo đề, ta có: x+20=6(x-5)

=>6x-30=x+20

=>5x=50

=>x=10(nhận)

vậy: tuổi con hiện nay là 10 tuổi, tuổi mẹ hiện nay là 10+25=35 tuổi

1:

Gọi số thứ nhất là x

Số thứ hai là 240-x

Nếu bớt số thứ nhất đi 40 đơn vị thì số thứ hai gấp đôi số thứ nhất nên ta có:

240-x=2(x-40)

=>2x-80=240-x

=>3x=320

=>\(x=\dfrac{320}{3}\)

Vậy: Hai số cần tìm là \(\dfrac{320}{3};240-\dfrac{320}{3}=\dfrac{400}{3}\)

Bài 2 : (Đề 5)

Ta có : \(CD//AB\left(CD\perp EA;AB\perp EA\right)\)

Áp dụng định lý Ta-lét cho tam giác ABE, ta có :

\(\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{CD}{AB}\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{CD.EA}{EC}=\dfrac{2.10}{4}=5\left(m\right)\)

Lưu ý : sửa \(EC=4\left(cm\right);EA=10\left(cm\right)\) thành \(EC=4\left(m\right);EA=10\left(m\right)\)

Bài 1(Đề 5)

a: Xét ΔABC có

E,D lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>ED là đường trung bình của ΔABC

=>ED//BC và \(ED=\dfrac{1}{2}BC\)(1)

Xét ΔGBC có

F,K lần lượt là trung điểm của GB,GC

=>FK là đường trung bình của ΔGBC

=>FK//BC và FK=BC/2(2)

Từ (1),(2) suy ra ED=FK

ta có: ED//BC

FK//BC

Do đó: ED//FK

Xét tứ giác EDKF có

ED//KF

ED=FK

Do đó: EDKF là hình bình hành

b: Để EDKF là hình chữ nhật thì EF\(\perp\)ED

mà ED//BC

nên EF\(\perp\)BC

Xét ΔABG có

E,F lần lượt là trung điểm của BA,BG

=>EF là đường trung bình của ΔABG

=>EF//AG

=>AG\(\perp\)BC

Xét ΔABC có

BD,CE là các đường trung tuyến

BD cắt CE tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

Xét ΔABC có

AG là đường trung tuyến

AG\(\perp\)BC

Do đó: ΔABC cân tại A

=>AB=AC

Bạn cần hỗ trợ bài nào bạn nên ghi chú rõ ra nhé.