Phân thức đại số

dùng cô si nhé, bài này dễ mà :)

có

\(b^2+c^2\ge2bc\\ =>\dfrac{a^2}{b^2+c^2}\le\dfrac{a^2}{2\sqrt{b^2c^2}}\\ < =>\dfrac{a^2}{b^2+c^2}\le\dfrac{a^2}{2bc}\)

cmtt

\(=>\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{c^2+a^2}\le\dfrac{b^2}{2ac}\\\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\le\dfrac{c^2}{2ab}\end{matrix}\right.\)

có

\(\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\le\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2ab}\\ < =>\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{a^2+c^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\le\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\left(đpcm\right)\)

đơn giản thế thôi, chúc may mắn :)

\(\sum\limits^{2016}_{x=1}\left(\dfrac{x^2}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\right)\)

Câu 10

Ta có: \(x^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2-6\ge-6\)

Dấu " = " khi \(x^2=0\Rightarrow x=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-6\right)^2\ge36\)

\(\Rightarrow A=\left(x^2-6\right)^2-12\ge24\)

Vậy \(MIN_A=24\) khi x = 0

Gọi O là giao điểm của BD và AC

Đặt BO=x,CO=y,BC=z

Vì O là giao điểm hai đường chéo hình thoi

\(\Rightarrow\) BO=\(\dfrac{1}{2}BD\) , CO=\(\dfrac{1}{2}AC\)

Hay x=\(\dfrac{1}{2}BD\) , y=\(\dfrac{1}{2}AC\)

Ta có: S_ABCD=\(\dfrac{BD.AC}{2}\)=\(\dfrac{2x.2y}{2}\)=2xy

Hay 2xy= 162,24cm²

Ta có BD+AC=36,4cm

hay 2x+2y=36,4cm

\(\Rightarrow\) x+y=\(\dfrac{36,4}{2}=18,2cm\)

\(\Rightarrow\) (x+y)²=18,2.18,2=331,24cm²

\(\Rightarrow\) x²+2xy+y²= 331,24cm²

hay x²+y²+ 162,24cm²=331,24cm²

\(\Rightarrow\) x²+y²= 331,24cm²-162,24cm²=169cm²

Ta có BD\(\perp\)AC (AC,BD là đường chéo của hình thoi ABCD)

\(\Rightarrow\) BO\(\perp\)OC

\(\Rightarrow\) \(\bigtriangleup\)BOC vuông tại O

Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông BOC ta có:

BO²+OC²=BC²

hay x²+y²=BC²

\(\Rightarrow\) BC²=x²+y²=169cm²

\(\Rightarrow\) BC=\(\sqrt{169cm^2}\) =13cm

Mà các cạnh của hình thoi luôn bằng nhau,từ đó suy ra:

Cạnh của hình thoi dài 13cm.

Câu 6) ĐKXĐ: \(x\ne-\dfrac{1}{10}\)\(\dfrac{6x-5}{10x+1}=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{49.51}\Leftrightarrow\dfrac{6x-5}{10x+1}=\dfrac{1}{2}.\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{49}-\dfrac{1}{51}\right)\Leftrightarrow\dfrac{6x-5}{10x+1}=\dfrac{1}{2}.\left(1-\dfrac{1}{51}\right)\Leftrightarrow\dfrac{6x-5}{10x+1}=\dfrac{25}{51}\Leftrightarrow x=5\left(TM\right)\)

Ta có tổng quát: \(\left(ax^2+bx+c\right)\)\(\left(mx^2+nx+p\right)\)\(\circledast\)

-Nhân ra ta được: \(amx^4+\left(an+bm\right)x^3+\left(ap+bn+cm\right)x^2+\left(bp+cn\right)x+cp\)

-Áp dụng phương pháp hệ số bất định, ta có:

am=1

an+bm=4 (1)

ap+bn+cm=6 (2)

bp+cn=4 (3)

cp=5

-Xét a=m=1 và c=1, p=5

thay vào (1), ta được: n+b=4 (4)

thay vào (3), ta được: n+5b=4 (5)

từ (4),(5)\(\Rightarrow\)n=4 và b=0

giờ thay tất cả vào phương trình (3), ta được: 5+0+1=6 (T/M)

\(\Rightarrow\)Thay vào\(\circledast\), ta được: \(\left(x^2+1\right)\left(x^2+4x+5\right)\)

Cách 2: Ta tách \(6x^2\) thành \(5x^2+x^2\)

ta được: \(x^4+4x^3+5x^2+x^2+4x+5\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2+4x+5\right)+\left(x^2+4x+5\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2+4x+5\right)\)

Giải:

Từ \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)

Ta xét các trường hợp:

Trường hợp \(1\): Nếu \(a+b+c=0\) thì:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\b+c=-a\\a+c=-b\end{matrix}\right.\)

Thay vào \(P\) ta có:

\(P=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)

\(=\left(\dfrac{a+b}{b}\right)\left(\dfrac{b+c}{c}\right)\left(\dfrac{a+c}{c}\right)\)

\(=\dfrac{-c}{b}.\dfrac{-a}{c}.\dfrac{-b}{a}=\dfrac{\cdot\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)}{b.c.a}=-1\)

Trường hợp \(2\): Nếu \(a=b=c\) thì:

\(P=\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\)

\(=\left(1+\dfrac{a}{a}\right)\left(1+\dfrac{a}{a}\right)\left(1+\dfrac{a}{a}\right)\)

\(=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)\)

\(=2.2.2=8\)

Vậy \(P=-1\) hoặc \(P=8\)

ta có : a³+b³+c³-3abc=0

\(\Rightarrow\)(a+b)³+c³-3abc-3a²b-3ab²=0

\(\Rightarrow\)(a+b+c)(a²+b²+c²+2ab-ac-bc)-3ab(a+b+c)=0

\(\Rightarrow\)(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)=0

\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a=-\left(b+c\right)\\b=-\left(a+c\right)\\c=-\left(a+b\right)\end{matrix}\right.\\\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=0\Leftrightarrow a=b=c=0\left(bỏ\right)\end{matrix}\right.\)ta có P=(1+\(\dfrac{a}{b}\))(1+\(\dfrac{b}{c}\))(1+\(\dfrac{c}{a}\))

\(\Leftrightarrow\)p=\(\left(\dfrac{b+a}{b}\right)\left(\dfrac{c+b}{c}\right)\left(\dfrac{a+c}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(\dfrac{-c}{b}\right)\left(\dfrac{-a}{c}\right)\left(\dfrac{-b}{a}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)P=-1

a³+b³+c³=3abc

<=>a³+b³+c³-3abc=0

đề phải ntn chứ \(\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}\)

\(\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}=\dfrac{1}{a+b}\)(cauchy-schwarz)

dấu = xảy ra khi \(\dfrac{x^2}{a}=\dfrac{y^2}{b}\Leftrightarrow bx^2=ay^2\)