a.

Gọi D là trung điểm BC, từ A kẻ \(AE\perp A'D\)

 \(\Rightarrow AD\perp BC\)

\(A'A\perp\left(ABC\right)\Rightarrow A'A\perp BC\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(A'AD\right)\Rightarrow BC\perp AE\)

\(\Rightarrow AE\perp\left(A'BC\right)\Rightarrow AE=d\left(A;\left(A'BC\right)\right)\)

\(AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)

Hệ thức lượng: \(AE=\dfrac{A'A.AD}{\sqrt{A'A^2+AD^2}}=\dfrac{3a}{4}\)

b.

Gọi F là giao điểm AC' và A'C. Do ACC'A' là hình chữ nhật \(\Rightarrow O\) là trung điểm AC'

\(\Rightarrow OA=OC'\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}C'M\cap\left(A'BC\right)=C\\C'C=2MC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(M;\left(A'BC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(C';\left(A'BC\right)\right)\)

Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}AC'\cap\left(A'BC\right)=O\\OA=OC'\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(A;\left(A'BC\right)\right)=d\left(C';\left(A'BC\right)\right)\)

\(\Rightarrow d\left(M;\left(A'BC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(A'BC\right)\right)=\dfrac{3a}{8}\)

a.

Do tam giác SAD đều \(\Rightarrow SH\perp AD\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(SAD\right)\perp\left(ABCD\right)\\AD=\left(SAD\right)\cap\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

\(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)

b.

\(\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{HC}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}\right).\left(\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{DC}\right)=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{HD}\)

\(=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{HD}\) (do MA vuông góc HD, AD vuông góc DC nên tích vô hướng =0)

\(=-\dfrac{a}{2}.a+a.\dfrac{a}{2}=0\)

\(\Rightarrow MD\perp HC\)

Lại có \(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp MD\)

\(\Rightarrow MD\perp\left(SHC\right)\)

Mà \(MD\in\left(SMD\right)\Rightarrow\left(SMD\right)\perp\left(SHC\right)\)

Câu tiếp theo đề sai, 2 mp (SHB) và (SMD) ko vuông góc nhau

(Bởi vì nếu \(\left(SHB\right)\perp\left(SMD\right)\), đồng thời \(\left(SHC\right)\perp\left(SMD\right)\) thì giao tuyến của (SHB) và (SHD) là SH sẽ vuông góc (SMD), điều này hoàn toàn vô lý, nó sẽ dẫn tới 2 mp (SMD) và (ABCD) song song)

c.

Gọi E là trung điểm BC \(\Rightarrow HE\perp BC\)

Trong mp (SHE), từ H kẻ \(HF\perp SE\)

Do \(SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp BC\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(SHE\right)\) \(\Rightarrow BC\perp HF\)

\(\Rightarrow HF\perp\left(SBC\right)\Rightarrow HF=d\left(H;\left(SBC\right)\right)\)

Lại có \(DH||BC\Rightarrow d\left(D;\left(SBC\right)\right)=d\left(H;\left(SBC\right)\right)=HF\)

\(HE=AB=a\Rightarrow HF=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^2+HE^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

\(d\left(CD;\left(SAB\right)\right)=d\left(D;\left(SAB\right)\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}DH\cap\left(SAB\right)=A\\DA=2HA\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(D;\left(SAB\right)\right)=2d\left(H;\left(SAB\right)\right)\)

Từ H kẻ \(HG\perp SA\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AB\\AD\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow AB\perp HG\Rightarrow HG\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow HG=d\left(H;\left(SAB\right)\right)\)

Hệ thức lượng: \(HG=\dfrac{SH.HA}{\sqrt{SH^2+HA^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow d\left(CD;\left(SAB\right)\right)=2HG=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Qua C kẻ đường thẳng song song BD cắt AD kéo dài tại I

\(\Rightarrow d\left(SC;BD\right)=d\left(BD;\left(SCI\right)\right)=d\left(D;\left(SCI\right)\right)\)

\(BCID\) là hình bình hành (2 cặp canh đối song song) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DI=BC=a\\\widehat{DIC}=\widehat{DBC}=45^0\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}HD\cap\left(SCI\right)=I\\HI=\dfrac{1}{2}DI+DI=\dfrac{3}{2}DI\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(H;\left(SCI\right)\right)=\dfrac{3}{2}d\left(D;\left(SCI\right)\right)\)

Kẻ \(HJ\perp CI\), kẻ \(HK\perp SJ\)

\(\Rightarrow HK\perp\left(SCI\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SCI\right)\right)\)

\(HJ=SI.sin\widehat{DIC}=\dfrac{3a}{2}.sin45^0=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\)

Hệ thức lượng: \(HK=\dfrac{SH.HJ}{\sqrt{SH^2+HJ^2}}=\dfrac{3a\sqrt{5}}{10}\)

\(\Rightarrow d\left(SC;BD\right)=\dfrac{2}{3}HK=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

a.

Từ A kẻ \(AE\perp SB\) (1)

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp AE\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AE\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AE=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

Hệ thức lượng: \(AE=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2+AB^2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

b.

Từ O kẻ \(OF\perp AD\)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp OF\)

\(\Rightarrow OF\perp\left(SAD\right)\Rightarrow OF=d\left(O;\left(SAD\right)\right)\)

OF là đường trung bình tam giác ABD \(\Rightarrow OF=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{a}{2}\)

a.

Gọi D là trung điểm BC \(\Rightarrow AD\perp BC\) (tam giác đều)

Từ A kẻ \(AE\perp SD\) (1)

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AD\)

\(\Rightarrow BC\perp\left(SAD\right)\) \(\Rightarrow BC\perp AE\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow AE\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AE=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)

\(AD=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)

Hệ thức lượng: \(AE=\dfrac{SA.AD}{\sqrt{SA^2+AD^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

b.

Từ B kẻ \(BF\perp AC\Rightarrow F\) là trung điểm AC (t/c tam giác đều)

Do \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BF\)

\(\Rightarrow BF\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BF=d\left(B;\left(SAC\right)\right)\)

\(BF=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều)

Trong mp (SAC), từ A kẻ \(CE\perp SA\) (1)

Trong mp (ABCD), qua C kẻ đường thẳng vuông góc AC cắt AB kéo dài tại F

\(\Rightarrow FC\perp AC\)

Do \(SC\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SC\perp FC\)

\(\Rightarrow FC\perp\left(SAC\right)\Rightarrow FC\perp SA\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow SA\perp\left(FEC\right)\)

\(\Rightarrow\left[B,SA,C\right]=\widehat{FEC}\)

\(AC=AB\sqrt{2}=2a\sqrt{2}\)

Hệ thức lượng: \(CE=\dfrac{SC.AC}{\sqrt{SC^2+AC^2}}=\dfrac{6a\sqrt{34}}{17}\)

\(FC=AC.tan45^0=2a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{FEC}=\dfrac{FC}{EC}=\dfrac{\sqrt{17}}{3}\Rightarrow\widehat{FEC}\approx54^0\)

Trong mp (SAC), từ A kẻ \(AE\perp SC\) (1)

Trong mp (ABC), qua A kẻ đường thẳng vuông góc AC cắt BC kéo dài tại D

\(\Rightarrow DA\perp AC\)

Mà \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AD\)

\(\Rightarrow AD\perp\left(SAC\right)\Rightarrow AD\perp SC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow SC\perp\left(AED\right)\)

\(\Rightarrow\left[A,SC,B\right]=\widehat{AED}\)

Hệ thức lượng: \(AE=\dfrac{AC.SA}{\sqrt{AC^2+SA^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}\)

\(AD=AC.tan\widehat{C}=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{AED}=\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}\) \(\Rightarrow\widehat{AED}\approx62^041'\)

a.

Gọi O là giao điểm AC và BD

\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=\dfrac{1}{2}\widehat{BAD}=60^0\Rightarrow\) các tam giác ABC, ABD đều

\(\Rightarrow AC=2a\) ; \(OB=OD=\dfrac{2a.\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\) (trung tuyến tam giác đều)

\(\Rightarrow BD=OB+OD=2a\sqrt{3}\)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\Rightarrow SA=AC.tan\widehat{SCA}=2a\)

\(V=\dfrac{1}{3}SA.\dfrac{1}{2}AC.BD=\dfrac{4a^3\sqrt{3}}{3}\)

b.

Ý tưởng giải quyết khi gặp những câu này: đưa về tính k/c từ "chân đường vuông góc đến mặt phẳng". Ví dụ ở đây chân đường vuông góc với mặt (ABCD) là A. Nhưng A thuộc (AMC) nên ko sử dụng được, vậy cần tạo ra chân đường vuông góc mới bằng cách tạo ra 1 đường vuông góc mới. Do SA vuông góc đáy nên đường mới sẽ song song SA, và đường này cần cắt (AMC). Vậy chắc chắn nó đi qua M. Kết luận: ta chỉ cần tạo ra 1 đường thẳng đi qua M và song song SA là xong vấn đề. Sau đó chỉ cần dựa trên tỉ lệ khoảng cách là tính được.

Qua M kẻ đường thẳng song song SA cắt AB tại N \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình tam giác SAB (đi qua trung điểm M cạnh bên và song song cạnh đáy SA) \(\Rightarrow MN\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow MN\perp AC\)  (1) và N là trung điểm AB

Đồng thời \(MN=\dfrac{1}{2}SA=a\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BD\cap\left(AMC\right)=O\\OB=OD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(D;\left(AMC\right)\right)=d\left(B;\left(AMC\right)\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}BN\cap\left(AMC\right)=A\\BA=2NA\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(B;\left(AMC\right)\right)=2d\left(N;\left(AMC\right)\right)\)

\(\Rightarrow d\left(D;\left(AMC\right)\right)=2d\left(N;\left(AMC\right)\right)\)

Trong mp (ABCD), từ N kẻ \(NE\perp AC\left(2\right)\Rightarrow NE\) là đường trung bình tam giác ABO

\(\Rightarrow NE=\dfrac{1}{2}OB=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Trong mp (MNE), từ N kẻ \(NF\perp ME\) (3)

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow AC\perp\left(MNE\right)\Rightarrow AC\perp NF\) (4)

(3);(4) \(\Rightarrow NF\perp\left(AMC\right)\Rightarrow NF=d\left(N;\left(AMC\right)\right)\)

Hệ thức lượng: \(NF=\dfrac{MN.NE}{\sqrt{MN^2+NE^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

\(\Rightarrow d\left(D;\left(AMC\right)\right)=2NF=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}\)

c.

K đối xứng A qua D nên D là trung điểm AK

Theo giả thiết O là trung điểm AC (t/c hình thoi)

\(\Rightarrow OD\) là đường trung bình tam giác ACK

\(\Rightarrow OD||CK\) hay \(BD||CK\)

\(\Rightarrow BD||\left(SCK\right)\Rightarrow d\left(BD;SK\right)=d\left(BD;\left(SCK\right)\right)=d\left(O;\left(SCK\right)\right)\) (do O thuộc BD)

Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}AO\cap\left(SCK\right)=C\\AC=2OC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(A;\left(SCK\right)\right)=2d\left(O;\left(SCK\right)\right)\)

\(\Rightarrow d\left(BD;SK\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(SCK\right)\right)\) (đưa được về chân đường vuông góc là A)

Từ A kẻ \(AH\perp SC\) (H thuộc SC) (5)

\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CK\)

\(\left\{{}\begin{matrix}CK||BD\left(cmt\right)\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CK\perp AC\)

\(\Rightarrow CK\perp\left(SAC\right)\) \(\Rightarrow CK\perp AH\) (6)

(5);(6) \(\Rightarrow AH\perp\left(SCK\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SCK\right)\right)\)

Hệ thức lượng: \(AH=\dfrac{SA.AC}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow d\left(BD;SK\right)=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Xác suất không bị dính mưa là:

1-70%=30%

Xác suất hai bạn đi xem phim và không bị dính mưa là:

\(80\%\cdot30\%=0,24\)

\(AB=BC=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A'A=B'B=C'C=\sqrt{A'B^2-AB^2}=a\sqrt{7}\)

Gọi D là trung điểm AC \(\Rightarrow BD\perp AC\)

\(B'B\perp\left(ABC\right)\Rightarrow B'B\perp AC\)

\(\Rightarrow AC\perp\left(B'DB\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{B'DB}\) là góc nhị diện cần tìm

\(BD=\dfrac{1}{2}AC=a\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền)

\(tan\widehat{B'DB}=\dfrac{B'B}{BD}=\sqrt{7}\Rightarrow\widehat{B'DB}\approx69^018'\)

Gọi H là trung điểm BC thì H đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

Do \(A'A=A'B=A'C\) nên hình chiếu của A' lên (ABC) trùng tâm đường tròn ngoại tiếp (ABC)

\(\Rightarrow A'H\perp\left(ABC\right)\)

Gọi D là trung điểm B'C' \(\Rightarrow BC\perp\left(A'AHD\right)\) nên \(\widehat{DHA}\) là góc cần tìm

\(BC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{6}\); \(AH=A'D=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(A'H=\sqrt{A'A^2-AH^2}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}\)

\(tan\widehat{A'HD}=\dfrac{A'D}{A'H}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\) \(\Rightarrow\widehat{A'HD}=37^045'\)

\(\Rightarrow\widehat{DHA}=90^0+\widehat{A'HD}=127^045'\)

Tính nhầm chỗ nào ko mà kết quả ko đẹp