Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

3: =>x+3>=0 và x-2<=0

=>-3<=x<=2

4: =>4x^2-4x+3x-3<x^2-2x+1

=>3x^2+x-2<0

=>3x^2+3x-2x-2<0

=>(x+1)(3x-2)<0

=>-1<x<2/3

2: =>x^4-8x>0

=>x(x^3-8)>0

=>x>2 hoặc x<0

a.

Giả sử: \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) ( đúng )

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) 

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đúng )

Vậy \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)

b.Giả sử: \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\) ( đúng )

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

Vậy \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)

Cảm ơn bn ^^

\(2x\left(x-3\right)=x-3\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1=0\\x-3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\x=3\end{matrix}\right.\)

=>2x(x-3)-(x-3)=0

=>(x-3)(2x-1)=0

=>x=3 hoặc x=1/2

Gọi số sản phẩm được giao là x

Thời gian dự định là x/45

Theo đề, ta có: \(\dfrac{x}{45}=3+\dfrac{x-45\cdot3}{50}\)

=>x/45=3+(x-135)/50

=>x/45-x/50+135/50=3

=>1/450x=3-2,7=0,3

=>x=135

Bài 1: 

a: m<n

nên -2m>-2n

=>-2m-7>-2n-7

b: m<n

nên 1005m<1005n

=>1005m-15<1005n-15

c: m<n

nên 5m<5n

=>5m+4<5n+4<5n+10

a: \(A=\left(\dfrac{4}{x}-1\right):\left(1-\dfrac{x-3}{x^2+x+1}\right)\)

\(=\dfrac{4-x}{x}:\dfrac{x^2+x+1-x+3}{x^2+x+1}\)

\(=\dfrac{4-x}{x}\cdot\dfrac{x^2+x+1}{x^2+4}=\dfrac{\left(4-x\right)\left(x^2+x+1\right)}{x\left(x^2+4\right)}\)

b: x^4-7x^2-4x+20=0

=>(x-2)^2(x^2+4x+5)=0

=>x=2

Khi x=2 thì \(A=\dfrac{\left(4-2\right)\left(4+2+1\right)}{2\left(4+4\right)}=\dfrac{7}{8}\)

\(a,\left|2x+2\right|+10=2x\)

*TH1 : \(\left|2x+2\right|=2x+2\Leftrightarrow2x+2>0\Leftrightarrow x>-1\)

\(\Rightarrow2x+2+10=2x\)

\(\Leftrightarrow2x-2x=-10-2\)

\(\Leftrightarrow0x=-12\left(vô\cdot lý\right)\)

*TH2 :\(\left|2x+2\right|=-2x-2\Leftrightarrow-2x-2< 0\Leftrightarrow x>-1\)

\(\Rightarrow-2x-2+10=2x\)

\(\Leftrightarrow-2x-2x=-10+2\)

\(\Leftrightarrow-4x=-8\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left(nhận\right)\)

Vậy \(S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\)

\(b,\left|x-6\right|=\left|3-2x\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-6=3-2x\\x-6=-3+2x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{-3;3\right\}\)

TK

Quãng đường về là: x – 24 (km)

Thời gian đi là: x/50 (h)

Thời gian về là: (x – 24)/40 (h)

Vì thời gian đi bằng thời gian về nên ta có:

     x/50 = (x – 24)/40

⇔ 4x/200 = 5.(x – 24)/200

⇔ 4x = 5x – 120

⇔ x = 120 (thỏa mãn)

Vậy quãng đường đi dài 120 km.

Gọi quãng đường lúc đi là x ( x>0 )

Thời gian đi là: \(\dfrac{x}{50}\)

Thời gian đi đường khác là: \(\dfrac{x-24}{40}\)

Theo đề bài ta có pt

\(\dfrac{x}{50}=\dfrac{x-24}{40}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x}{200}=\dfrac{5\left(x-24\right)}{200}\)

\(\Leftrightarrow4x=5\left(x-24\right)\)

\(\Leftrightarrow4x=5x-120\)

\(\Leftrightarrow x=120\left(tm\right)\)

Vậy quãng đường lúc đi dài 120km

tách ra

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành

$latex \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge 5$

Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây

$latex \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2a}{3}$

Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với

$latex \displaystyle \frac{{{\left( a-1 \right)}^{2}}\left( 2{{a}^{2}}+6a+3 \right)}{3{{a}^{2}}}\ge 0$

Hiển nhiên đúng với a là số thực dương.

Áp dụng tương tự ta được $latex \frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2b}{3};\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2c}{3}$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

$latex \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge 7-\frac{2\left( a+b+c \right)}{3}=5$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $latex a=b=c=1$.

Chúng ta sẽ khởi đầu kỹ thuật này bằng việc đưa ra cách giải thích cho việc tìm ra bất đẳng thức phụ trên và nó cũng chính là cách giải thích cho các bài toán sau này của chúng ta.

Bài toán trên các biến trong cả hai vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay sẽ tách theo từng biến để chứng minh được đơn giản hơn nếu có thể. Nhưng rõ ràng chỉ từng đó thôi là không đủ. Để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức sau

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{\left( a-1 \right)\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}\ge 0$

Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với a thực dương.

Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện .

Như vậy ta sẽ không đi theo đường lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng thức sau là đúng

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+ma+n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Trong đó m và n là các hệ số chưa xác định.

Thiết lập tương tự với các biến b và c ta được

$latex \displaystyle \frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{2{{b}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+mb+n;\,\,\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{c}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+mc+n$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}}{3}\ge 5+m\left( a+b+c \right)+3n=5+3\left( m+n \right)$

Như vậy ở đây 2 hệ số m và n phải thỏa mãn điều kiện $latex \displaystyle m+n=0\Leftrightarrow n=-m$. Thế vào (1) dẫn đến

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+m\left( a-1 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức (2) là đúng. Chú ý đẳng thức xẩy ra tại $latex a=b=c=1$ nên ta cần xác định m sao cho

$latex \displaystyle \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{5}{3}+m\left( a-1 \right)\Leftrightarrow \left( a-1 \right)\left( \frac{\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}-m \right)\ge 0$

Khi cho $latex a=1$ thì ta có $latex \displaystyle \frac{\left( a+1 \right)\left( 2{{a}^{2}}-3 \right)}{3{{a}^{2}}}=-\frac{2}{3}$ từ đó ta dự đoán rằng $latex \displaystyle m=-\frac{2}{3}$ để tạo thành đại lượng bình phương $latex {{\left( a-1 \right)}^{2}}$ trong biểu thức. Từ đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ

$latex \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{2{{a}^{2}}}{3}\ge \frac{7}{3}-\frac{2a}{3}$