Hình thang

Đường trung bình MN có độ dài là :

        MN =  \(\dfrac{8+18}{2}\) = 13 cm

a) Ta có: AE=EP=PD(gt)

mà AE+EP+PD=AD

nên \(\frac{AE}{AD}=\frac{PD}{AD}=\frac{1}{3}\)(1)

Ta có: BF=FQ=QC(gt)

mà BF+FQ+QC=BC

nên \(\frac{BF}{BC}=\frac{QC}{BC}=\frac{1}{3}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AD}\) và \(\frac{PD}{AD}=\frac{QC}{BC}\)

Hình thang ABCD(AB//CD) có

F∈BC(gt)

E∈AD(gt)

\(\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AD}\)(cmt)

Do đó: FE//AB//CD(Định lí Ta lét)(3)

Hình thang ABCD(AB//CD) có

Q∈BC(gt)

P∈AD(gt)

\(\frac{PD}{AD}=\frac{QC}{BC}\)(cmt)

Do đó: QP//AB//CD(Định lí Ta lét)(4)

Từ (3) và (4) suy ra EF//PQ(đpcm)

a) Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{EAF}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

\(\widehat{AEH}=90^0\)(HE⊥AB)

\(\widehat{AFH}=90^0\)(HF⊥AC)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Gọi giao điểm của AM và EF là I

Ta có: ΔABC vuông tại A(gt)

mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC(gt)

nên \(AM=\frac{BC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)

mà \(MB=MC=\frac{BC}{2}\)(M là trung điểm của BC)

nên AM=MB=MC

Xét ΔAMC có AM=MC(cmt)

nên ΔAMC cân tại M(Định nghĩa tam giác cân)

⇒\(\widehat{C}=\widehat{CAM}\)(hai góc ở đáy của ΔAMC cân tại M)

Ta có: ΔAHB vuông tại H(AH⊥BC)

nên \(\widehat{HAB}+\widehat{B}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau trong ΔAHB vuông tại H)(1)

Ta có: tia FE nằm giữa hai tia FA,FH

nên \(\widehat{AFE}+\widehat{HFE}=\widehat{HFA}\)

hay \(\widehat{AFE}+\widehat{HFE}=90^0\)(2)

Xét ΔAHE vuông tại E và ΔFEH vuông tại H có

AH=EF(hai đường chéo của hình chữ nhật AEHF)

HE chung

Do đó: ΔAHE=ΔFEH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒\(\widehat{EAH}=\widehat{HFE}\)(hai góc tương ứng)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{AFE}=\widehat{ABC}\)

Xét ΔAIF có \(\widehat{AIF}+\widehat{IAF}+\widehat{AFI}=180^0\)(Định lí tổng ba góc trong một tam giác)

\(\Leftrightarrow\widehat{AIF}+\widehat{MAC}+\widehat{ABC}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AIF}+\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=180^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{AIF}+90^0=180^0\)

hay \(\widehat{AIF}=90^0\)

⇒EF⊥AM(đpcm)

a) Xét △ABC có : AD = DB ( gt ) , AE = EC ( gt )

⇒ DE là đường trung bình △ABC

⇒ DE // BC và DE = \(\frac{1}{2}\) BC

⇒ DECB là hình thang ( định nghĩa hình thang )

b) Vì DE = \(\frac{1}{2}\)BC ( cma ) mà BF = FC = \(\frac{1}{2}\) BC ( gt )

⇒ DE = BF

Tứ giác DEFB có : DE = BF ( cmt ) , DE // BF ( vì DE // BC )

⇒ DEFB là hình bình hành

KL là j vậy