Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

a: AB=6cm

b: Xet ΔBCD có

BA là trung tuyến

BM=2/3BA

=>M là trọng tâm

c: Vì M là trọng tam của ΔCBD

nên C,M,E thẳng hàng

BC= 7cm

Xét ΔABC có D,E lầnlượt là trung điểm của AB,AC

nên DE là đường trung bình

=>DE=1/2BC

=>BC=7cm

a: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AM là đừog trung tuyến

nên AM là đường cao

b: BM=CM=BC/2=16,5cm

=>\(AM=\sqrt{34^2-16.5^2}\simeq29,73\left(cm\right)\)

a: XétΔABC có \(BC^2=AB^2+AC^2\)

nên ΔABC vuông tại A

b: Xét ΔMHC và ΔMKB có

MH=MK

góc HMC=góc KMB

MC=MB

Do đó; ΔMHC=ΔMKB

Xét tứ giác CHBK có

M là trung điểm của CB và HK

nên CHBK là hình bình hành

Suy ra: BK//CH

hay BK//AC
c: Xét ΔCAB có

M la trung điểm của bC

MH//AB

Do dó: H là trung điểm của AC

Xét ΔCAB có

AM là đường trung tuyến

BH là đường trung tuyến

AM cắt BH tại G

Do đó: Glà trọng tâm

a)

Ta có: EB=EI(gt)

mà E nằm giữa hai điểm B và I

nên E là trung điểm của BI

Xét tứ giác AICB có

E là trung điểm của đường chéo AC(BE là đường trung tuyến ứng với cạnh AC trong ΔABC)

E là trung điểm của đường chéo BI(cmt)

Do đó: AICB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒AI=BC và AI//BC(hai cạnh đối trong hình bình hành AICB)(1)

Ta có: DC=DK(gt)

mà D nằm giữa K và C

nên D là trung điểm của KC

Xét tứ giác AKBC có

D là trung điểm của đường chéo KC(cmt)

D là trung điểm của đường chéo AB(CD là đường trung tuyến ứng với cạnh AB của ΔABC)

Do đó: AKBC là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒AK//BC và AK=BC(hai cạnh đối trong hình bình hành AKBC)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AK=AI(3)

Từ (1) và (2) suy ra AK//AI

mà AK và AI có điểm chung là A

nên K,A,I thẳng hàng(4)

Từ (3) và (4) suy ra A là trung điểm của KI(ddpcm)

b) Sửa đề: Chứng minh BI,CK,FA đồng quy tại một điểm

Ta có: AC//KB(hai cạnh đối trong hình bình hành ACBK)

mà F∈KB

nên AC//KF

Xét ΔIKF có

A là trung điểm của KI(cmt)

AC//KF(cmt)

Do đó: C là trung điểm của IF(định lí 1 đường trung bình của tam giác)

Ta có: CB//AK(cmt)

mà I∈AK

nên CB//KI

Xét ΔFIK có

C là trung điểm của FI(cmt)

CB//KI(cmt)

Do đó: B là trung điểm của KF(định lí 1 đường trung bình của tam giác)

Xét ΔFKI có

FA là đường trung tuyến ứng với cạnh KI(A là trung điểm của KI)

IB là đường trung tuyến ứng với cạnh KF(B là trung điểm của KF)

KC là đường trung tuyến ứng với cạnh IF(C là trung điểm của IF)

Do đó: FA,IB,KC cắt nhau tại trọng tâm của ΔFKI

hay FA,IB,KC đồng quy(đpcm)

Xét ΔMDF có

E là trung điểm của MD

C là trung điểm của MF

Do đó:EC là đường trung bình

=>EC//DF

hay DN//EC

Xét ΔAEC có

D là trung điểm của AE

DN//EC

Do đó: N là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

AM là đương trung tuyến

AE=2/3AM

Do đó: E là trọng tâm

mà N là trung điểm của AC

nên B,E,N thẳng hàng

le thi hong van giúp t vsdân ngu toán lâu năm :((

Xét tam giác ABC như hình vẽ, ta cần chứng minh:

\(\dfrac{3}{4}\left(AB+AC+BC\right)< AM+BD+CE< AB+AC+BC\)

*Chứng minh AM + BD + CE < AB + AC + BC

Trên tia đối của tia MA lấy MK sao cho MA = MK

Xét tam giác BMK và CMA

Ta có: MA = MK ( vẽ thêm )

Góc BMK = góc AMC

BM = MC ( vì AM là đường trung tuyến )

=> Tam giác BMK = CMA ( c-g-c )

=> BK = AC ( hai cạnh tương ứng )

Xét tam giác ABK có:

AK < AB + BK

Mà AK = 2AM ; BK = AC

=> 2AM < AB + AC (1)

Tương tự, ta có: 2BD < AB + BC (2)

2CE < AC + BC (3)

Cộng từng vế của (1),(2) và (3) ta được:

2(AM + BD + CE) < 2(AB + AC + BC)

=> AM + BD + CE < AB + AC + BC

*Chứng minh 3/4(AB + AC + BC) < AM + BD + CE

Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB

Mà AG = 2/3AM ; BG = 2/3BD (do G là trọng tâm tam giác ABC)

=> 2/3(AM + BD) > AB

Tương tự, ta có:

2/3(AM + CE) > AC; 2/3(BD + CE) > BC

=> 2/3.2(AM + BD + CE) > AB + AC + BC

<=> 4/3(AM + BD + CE) > AB + AC + BC

=> AM + BD + CE > 3/4(AB + AC + BC)

=> Đpcm