Xét tam giác ABC như hình vẽ, ta cần chứng minh:
\(\dfrac{3}{4}\left(AB+AC+BC\right)< AM+BD+CE< AB+AC+BC\)
*Chứng minh AM + BD + CE < AB + AC + BC
Trên tia đối của tia MA lấy MK sao cho MA = MK
Xét tam giác BMK và CMA
Ta có: MA = MK ( vẽ thêm )
Góc BMK = góc AMC
BM = MC ( vì AM là đường trung tuyến )
=> Tam giác BMK = CMA ( c-g-c )
=> BK = AC ( hai cạnh tương ứng )
Xét tam giác ABK có:
AK < AB + BK
Mà AK = 2AM ; BK = AC
=> 2AM < AB + AC (1)
Tương tự, ta có: 2BD < AB + BC (2)
2CE < AC + BC (3)
Cộng từng vế của (1),(2) và (3) ta được:
2(AM + BD + CE) < 2(AB + AC + BC)
=> AM + BD + CE < AB + AC + BC
*Chứng minh 3/4(AB + AC + BC) < AM + BD + CE
Xét tam giác AGB có: AG + GB > AB
Mà AG = 2/3AM ; BG = 2/3BD (do G là trọng tâm tam giác ABC)
=> 2/3(AM + BD) > AB
Tương tự, ta có:
2/3(AM + CE) > AC; 2/3(BD + CE) > BC
=> 2/3.2(AM + BD + CE) > AB + AC + BC
<=> 4/3(AM + BD + CE) > AB + AC + BC
=> AM + BD + CE > 3/4(AB + AC + BC)
=> Đpcm
