Bài 4. ÔN TẬP CHƯƠNG III

\(A=\frac{2sin2x-2sin2x.cos2x}{2sin2x+2sin2x.cos2x}=\frac{1-cos2x}{1+cos2x}=\frac{2sin^2x}{2cos^2x}=tan^2x\)

\(B=\frac{2cos4x.sinx}{2cos4x}=sinx\)

Câu C ko dịch được đề

\(x-\frac{11x^2-5x+6}{x^2+5x+6}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^2+5x+6}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x>3\\1< x< 2\\-3< x< -2\end{matrix}\right.\)

b/ \(\frac{2-x}{x^3+x^2}-\frac{1-2x}{x^3-3x^2}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(2-x\right)\left(x+1\right)-\left(1-2x\right)\left(x-3\right)}{x^2\left(x+1\right)\left(x-3\right)}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x-5\right)}{x^2\left(x+1\right)\left(x-3\right)}>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x< -1\\x>5\\1< x< 3\end{matrix}\right.\)

c/ \(\left|x^2-x-1\right|\le x-1\)

Với \(x< 1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) BPT vô nghiệm

Với \(x\ge1\) hai vế ko âm, bình phương:

\(\left(x^2-x-1\right)^2\le\left(x-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-x-1\right)^2-\left(x-1\right)^2\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x\right)\left(x^2-2\right)\le0\) \(\Rightarrow\sqrt{2}\le x\le2\)

Gọi H là hình chiếu của A lên BM

\(\Rightarrow AH=d\left(A;BM\right)=\frac{\left|-7.4+15\right|}{\sqrt{4^2+7^2}}=\frac{\sqrt{65}}{5}\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AM^2}=\frac{1}{AH^2}\Leftrightarrow\frac{1}{AB^2}+\frac{4}{AB^2}=\frac{1}{AH^2}\)

\(\Rightarrow AB^2=5AH^2=13\Rightarrow AB=\sqrt{13}\)

Gọi \(B\left(b;\frac{4b+15}{7}\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(b;\frac{4b-13}{7}\right)\)

\(\Rightarrow b^2+\left(\frac{4b-13}{7}\right)^2=13\)

\(\Leftrightarrow65b^2-104b-468=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=\frac{18}{5}\left(l\right)\\b=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-2;1\right)\)

Gọi \(M\left(m;\frac{4m+15}{7}\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(m;\frac{4m-13}{7}\right)\) ; \(\overrightarrow{AB}=\left(-2;-3\right)\)

\(AM\perp AB\Rightarrow2m+\frac{3\left(4m-13\right)}{7}=0\Rightarrow m=\frac{3}{2}\) \(\Rightarrow M\left(\frac{3}{2};3\right)\)

M là trung điểm AD \(\Rightarrow D\)

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\)

Bạn tự hoàn thành nốt

\(E=\frac{\frac{1}{sin^2x}}{1-\frac{cosx}{sinx}+\frac{cos^2x}{sin^2x}}=\frac{1+cot^2x}{1-cotx+cot^2x}=\frac{1+\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=...\)

\(A=tan^2x+cot^2x=\left(tanx+cotx\right)^2-2=4-2=2\)

\(B=\left(tanx+cotx\right)^3-3tanx.cotx\left(tanx+cotx\right)=2^3-3.1.2=2\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-2;0\right)=-2\left(1;0\right)\) ; \(\overrightarrow{BC}=\left(3;-4\right)\)

Đường thẳng BC nhận \(\left(4;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình BC:

\(4\left(x+2\right)+3\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow4x+3y-7=0\)

Đường cao BH vuông góc AC nên nhận \(\left(1;0\right)\) là 1 vtpt

Phương trình BH:

\(1\left(x+2\right)+0\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x+2=0\)

Đường tròn có bán kính bằng khoảng cách từ A đến BC

\(\Rightarrow R=d\left(A;BC\right)=\frac{\left|4.3+3.1-7\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{8}{5}\)

Phương trình đường tròn: \(\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=\frac{64}{25}\)

Câu 2:

Đường tròn tâm \(I\left(1;-3\right)\) bán kính \(R=\sqrt{1^2+3^2+6}=4\)

Do \(\Delta\) song song d nên pt \(\Delta\) có dạng: \(3x+4y+c=0\) (với \(c\ne5\))

\(S_{IAB}=\frac{1}{2}IA.IB.sin\widehat{AIB}\le\frac{1}{2}IA.IB=\frac{R^2}{2}\)

\(\Rightarrow\) Diện tích tam giác lớn nhất khi IAB vuông cân tại I

\(\Rightarrow d\left(I;AB\right)=\frac{R}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\left|3.1+4.\left(-3\right)+c\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2\sqrt{2}\) \(\Leftrightarrow\left|c-9\right|=10\sqrt{2}\Rightarrow c=9\pm10\sqrt{2}\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}3x+4y+9-10\sqrt{2}=0\\3x+4y+9+10\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)

a/ \(\overrightarrow{BC}=\left(6;-3\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{BC}}=\left(3;6\right)\)

\(\Rightarrow BC:3\left(x-1\right)+6\left(y+2\right)=0\)

\(BC:3x+6y+9=0\)

b/ Phương trình đường cao AA' nhận \(\overrightarrow{BC}\) làm vecto pháp tuyến\(\Rightarrow\overrightarrow{n_{AA'}}=\left(6;-3\right)\)

\(\Rightarrow AA':6\left(x-2\right)-3y=0\)

\(:6x-3y-12=0\)

c/ \(AA'\cap BC=\left\{A'\right\}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x-3y-12=0\\3x+6y+9=0\end{matrix}\right.\Rightarrow A'\left(1;-2\right)\)

d/ \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MC}\Leftrightarrow\left(x_M-2;y_M\right)=\left(1-x_M;-2-y_M\right)\)

\(\Rightarrow M\left(\frac{3}{2};-1\right)\)

\(\overrightarrow{BM}=\left(\frac{13}{2};-2\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{BM}}=\left(2;\frac{13}{2}\right)\)

\(\Rightarrow BM:2\left(x+5\right)+\frac{13}{2}\left(y-1\right)=0\)

\(BM:2x+\frac{13}{2}y+\frac{7}{2}=0\)

d/ Gọi K là hình chiếu của B hạ xuống AC \(\Rightarrow BK\perp AC\)

\(\overrightarrow{n_{BK}}=\overrightarrow{AC}=\left(-1;-2\right)\)

\(\Rightarrow BK:-\left(x-2\right)-2y=0\)

\(BK:-x-2y+2=0\)

\(BK\cap AA'=\left\{H\right\}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x-2y+2=0\\6x-3y-12=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H\left(2;0\right)\)

Gọi tâm đường tròn có tọa độ \(I\left(a;a\right)\)

Do đường tròn tiếp xúc với cả 2 đường thẳng nên:

\(d\left(I;d_1\right)=d\left(I;d_2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|3a+2a+3\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{\left|2a-3a+15\right|}{\sqrt{2^2+\left(-3\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|5a+3\right|=\left|a-15\right|\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}5a+3=a-15\\5a+3=15-a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-\frac{9}{2}\\a=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}R^2=\frac{3}{2}\\R^2=1\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường tròn thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}\left(x+\frac{9}{2}\right)^2+\left(y+\frac{9}{2}\right)^2=\frac{3}{2}\\\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=1\end{matrix}\right.\)