Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{x+1}{\sqrt{x}-1}\) với x >1.

Answer 1

Lời giải:

$P=\frac{x-1+2}{\sqrt{x}-1}=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)+2}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}+1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}=(\sqrt{x}-1)+\frac{2}{\sqrt{x}-1}+2$
$\geq 2\sqrt{(\sqrt{x}-1).\frac{2}{\sqrt{x}-1}}+2$

$=2\sqrt{2}+2$ (áp dụng BĐT AM-GM)

Vậy $P_{\min}=2\sqrt{2}+2$
Giá trị này đạt tại $\sqrt{x}-1=\frac{2}{\sqrt{x}-1}$

$\Rightarrow \sqrt{x}-1=\sqrt{2}$

$\Rightarrow x=(\sqrt{2}+1)^2$