Question

So sánh \(P=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\) với 2

Answer 1

Với `x > 0`. Ta có:

 `P-2=[x+\sqrt{x}+1]/\sqrt{x} -2`

      `=[x+\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}]/\sqrt{x}`

     `=[x-\sqrt{x}+1]/\sqrt{x}`

     `=[(\sqrt{x}-1)^2+3/4]/\sqrt{x}`

  Vì `x > 0=>[(\sqrt{x}-1)^2+3/4]/\sqrt{x} > 0`

   `=>P-2 > 0`

`<=>P > 2` với `x > 0`.

Answer 2

ĐK: x >0

\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

Vì x > 0 \(\rightarrow\sqrt{x}>0\rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}>0\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}}=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1\ge3\Rightarrow P\ge3\Rightarrow P>2\)

Vậy P > 2 với x > 0