Sau đây là bài toán chế:))
Cho \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\) thỏa mãn \(a+b+c=3\).Chứng minh:
\(a^2+b^2+c^2\le2a+b+3c\)
Mời các god: @svtkvtmTrần Thanh PhươngPhạm Hoàng Lê NguyênDƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG(ko chắc là dính anh Nguyên hay không:V)
Đợi lâu quá nên em giải nốt nha:v
Nhớ là đề này em đã sửa lại đk \(2\ge a>b>c\ge0\) bên dưới rồi nhé!
Ta có: \(LHS\left(VT\right)=\left(a-b\right)a+\left(b-c\right)\left(a+b\right)+c\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a-b\right)a+\left(b-c\right)\left(3-c\right)+3c\)
\(\le2\left(a-b\right)+3b+3c\left(\text{do }c\ge0\right)=2a+b+3c=RHS\left(VP\right)\)
Ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0.
Tag ko dính gì cả :(
bđt\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2a-b-3c\le0\)
VT\(\le3a^2-6a\le0\)
mà \(\left(3a^2-6a^2\right)_{max}=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=2\end{matrix}\right.\)
Vậy bđt đúng. Dấu = xra khi a=2 vì ta thấy a khác b khác c và a lớn nhất.
Thay a=2 vào bđt ban đầu:
\(4+b^2+c^2\le4+b+3c\)
\(\Leftrightarrow b^2+c^2-b-3c\le0\)
Bằng lập luận tương tự ta đc bđt đúng và dấu = xra khi b=1;c=0.
Vậy ta có đpcm với dấu = xra khi a=2;b=1;c=0.
#Walker
Giải thích dòng thứ 2:
\(VT=\left(a-1\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{3}{2}\right)^2\le\left(a-1\right)^2+\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(a-\frac{3}{2}\right)^2\le\frac{7}{2}\)
Với a thuộc [0;2] ta thấy bđt đúng và dấu = xra khi a=2.
Từ đó \(VT\le4+b^2+c^2\)
Phần sau đc giải thích ở phần bình luận.
#Walker
Em làm đúng chưa ạ Akai HarumaNguyễn Việt Lâm
Chưa ai nghĩ ra ak? Để cháu tag lại (Sợ tag không dính:V)
Lightning FarronTrần Thanh PhươngNguyễn Thị Diễm QuỳnhsvtkvtmDƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNGHISINOMA KINIMADOAkai HarumaNguyễn Việt Lâm
Từ giả thiết suy ra :
+) \(\left(a-2\right)\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab-a^2-2b+2a\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a+b\ge a^2-ab+3b\)
+) \(\left(c-b\right)\left(b-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow bc-c-b^2+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow3c\ge b^2-bc-b+4c\ge b^2-bc-b\)
Cộng vế ta có:
\(VP\ge a^2-ab+3b+b^2-bc-b\)
\(=a^2+b^2+2b-ab-bc\)
Cần chứng minh: \(2b-ab-bc\ge c^2\)
\(\Leftrightarrow b\left(2-a\right)-bc\ge c^2\)( luôn đúng theo giả thiết )
BĐT được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2;b=1;c=0\).
\(a+b+c=3\Rightarrow c\le1\Rightarrow c^2-c=c\left(c-1\right)\le0\Rightarrow c^2\le c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le2a+b+3c\Leftrightarrow a^2+b^2\le2a+b+2c=9-a-2b-c\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca-c-a\ge b^2+2b+a^2\Leftrightarrow c^2-c+2ab+2bc+2ca-a\ge2b;c^2-c\ge\frac{-1}{4}\Rightarrow bdt\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca\ge2b+\frac{9}{4}=2b+\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}=2b+\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca\right)\ge a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\Leftrightarrow\frac{27}{4}\ge a^2+b^2+c^2\)
Wow, ra rồi !!!
Ta có:\(VP\ge6c\)
\(VT\le3a^2\)
\(\Rightarrow3a^2\le6c\)\(\Leftrightarrow a^2\le2c\)
*\(\Leftrightarrow c\ge\frac{a^2}{2}\ge\frac{0}{2}=0\left(LĐ\right)\)
Cm chiều ngược lại cx đúng.
Vậy ta có đpcm.
#Walker
Em xin lỗi, bài này đk là \(2\ge a>b>c\ge0\) mới đúng, phiền mọi người. Nếu không bài này sẽ khá khó để xử lí, nhất là cách mà em định nói với mọi người cũng không thỏa mãn đầy đủ các trường hợp đẳng thức xảy ra.
