\(\lceil \text{Chuyên đề} \rfloor\): Bất đẳng thức hàng tuần.
1(21). Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
2(22). Cho \(a,b,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a^2 +b^2+c^2=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\le1\)
Các bạn lưu ý như sau:
Mỗi người chỉ trả lời một lần, tất nhiên là nếu có nhiều cách hãy bổ sung vào phần bình luận, nếu thiếu/chỉnh sửa hãy bổ sung vào phần bình luận
+) Thời gian là 1 tuần.
+) Phần thưởng là 1 GP cho câu trả lời đúng. Riêng những câu trả lời có nhiều cách hoặc nhưng câu trả lời hay, sẽ xem xét tặng 2 - 3 GP/ cách hoặc /câu trả lời.
Mọi người tham gia vui vẻ nhé!
Câu 1:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}{a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^{ }+a^2+b^2+c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge3a^2b^2c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)^2\ge9a^2b^2c^2+3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3b+ab^3+b^3c+bc^3+c^3a+ca^3+3abc\left(a+b+c\right)\ge9a^2b^2c^2+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2-2ab+b^2\right)+bc\left(b^2-2bc+c^2\right)+ca\left(c^2-2ca+a^2\right)+3abc\left(a+b+c\right)\ge9a^2b^2c^2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a-b\right)^2+bc\left(b-c\right)^2+ca\left(c-a\right)^2+3abc\left(a+b+c-3\right)\ge0\)
Bất đẳng thức trên luôn đúng vì a + b + c \(\ge\) 3 (dễ c/m).
Không biết có đúng ko.
Thử câu 2 phát :v
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{a^2c+b^2a+c^2b+2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca+4a+4b+4c}{abc+2ab+2bc+2ca+4a+4b+4c+8}\le1\)
\(\Leftrightarrow a^2c+b^2a+c^2b+6\le abc+8\)
\(\Leftrightarrow a^2c+b^2a+c^2b-abc\le2\) (*)
Giả sử b là số ở giữa. Thế thì: a(b - a)(b - c) \(\le\) 0.
\(\Leftrightarrow\) ab2 + a2c - a2b - abc \(\le\) 0
\(\Leftrightarrow\) ab2 + bc2 + ca2 - abc \(\le\) a2b + bc2
Đặt P = a2b + bc2 = b(a2 + c2)
Ta có: 2P2 = 2b2(a2 + c2)2
Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
2P2 = 2b2 . (a2 + c2) . (a2 + c2) \(\le\) \(\left(\frac{2b^2+a^2+c^2+a^2+c^2}{3}\right)^3=8\)
\(\Rightarrow\) P \(\le\) 2
Do đó ab2 + bc2 + ca2 - abc \(\le\) P = 2. (*) được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (a, b, c) \(\in\) {(2; 2; 2); (0; 1; \(\sqrt{2}\))} và các hoán vị.
Một tuần hơi lâu, có thể được em duy trì chuyên mục 1 tuần có 2 lần đăng được không?
À, nào trao giải các bạn em tag anh nhé!
Xin slot câu 1 mặc dù không biết đúng hay sai :)))))))
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac=3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge3+3=6\)
\(\Rightarrow\frac{9}{a^2+b^2+c^2+3}\ge\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki;
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+3}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Cosi ngược dấu:
\(\frac{1+a^2-a^2}{1+a^2}=1-\frac{a^2}{1+a^2}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)
Tương tự như vậy ta có BĐT trở thành
\(VT\ge3-\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow3\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a\left(b-1\right)+b\left(c-1\right)+c\left(a-1\right)\ge0\)(1)
Ta lại có: \(3=ab+bc+ca\ge3\sqrt{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\le1\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a\le1\\b\le1\\c\le1\end{matrix}\right.\)Tiếp đến sử dụng nguyên lý Direchlet để loại trừ dần để (1) luôn đúng. Từ đó ta đã có ĐPCM
2.BĐT\(\Leftrightarrow\frac{a\left(c+2\right)\left(a+2\right)+b\left(b+2\right)\left(a+2\right)+c\left(b+2\right)\left(c+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\le1\)
\(\Leftrightarrow a^2c+b^2a+c^2b+2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(a^2+b^2+c^2\right)+4\left(a+b+c\right)\le abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8\)
\(\Leftrightarrow a^2c+c^2b+b^2a+6\le abc+8\)
\(\Leftrightarrow a^2c+c^2b+b^2a\le abc+2\)(1)
Chia 2 vế của (1) cho abc \(\ge\)0 có
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\le1+\frac{2}{abc}\)
Ta có: VP=\(1+\frac{2}{abc}\ge2+1=3\)(2)( vì \(abc\le1\), dễ dàng c/m
\(a^2+b^2+c^2=3\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow1\ge abc\))
ÁP dụng cosi vào VT có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\)(3)
Từ (2) và (3) có (1)m luôn đúng suy ra ĐPCM
