Để P xác định \(\Rightarrow x>9\)
\(P=\sqrt{\dfrac{x-9+16}{\sqrt{x}-3}}=\sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)+16}{\sqrt{x}-3}}=\sqrt{x+3+\dfrac{16}{\sqrt{x}-3}}\)
\(=\sqrt{\sqrt{x}-3+\dfrac{16}{\sqrt{x}-3}+6}\ge\sqrt{2\sqrt{\dfrac{16\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-3}}+6}=\sqrt{14}\)
\(P_{min}=\sqrt{14}\) khi \(\sqrt{x}-3=4\Rightarrow x=49\)
ĐK: \(x>9\). Đặt \(t=\sqrt{x}\left(t>3\right)\)
Ta có: \(y=P^2=\dfrac{t^2+7}{t-3}\left(y\ge0\right)\Rightarrow t^2-yt+3y+7=0\left(1\right)\)
Phương trình có nghiệm khi: \(\Delta=y^2-4\left(3y+7\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow y^2-12y-28\ge0\Leftrightarrow\left(y-6\right)^2\ge64\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y-6\ge8\\y-6\le-8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y\ge14\left(N\right)\\y\le-2\left(L\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow P^2_{min}=y_{min}=14\Rightarrow P_{min}=\sqrt{14}\).
Dấu bằng xảy ra tại \(x=t^2\), với \(t\) là nghiệm kép của phương trình \(\left(1\right)\), tức là: \(t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\left(-y_{min}\right)}{2\cdot1}=\dfrac{14}{2}=7\) (thỏa mãn). Tổng quát lại, \(P_{min}=\sqrt{14}\Leftrightarrow x=t^2=7^2=49\)
