Giải chi tiết theo kiểu tìm công thức SHTQ thì như sau:
Đề thế này phải ko bạn: \(\left\{{}\begin{matrix}u_0=1\\u_n=\dfrac{2}{u_{n-1}}+1\end{matrix}\right.\)
Ta biến đổi: \(u_n=\dfrac{u_{n-1}+2}{u_{n-1}}\Leftrightarrow u_n+1=\dfrac{u_{n-1}+2}{u_{n-1}}+1=\dfrac{2\left(u_{n-1}+1\right)}{u_{n-1}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_n+1}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u_{n-1}}{u_{n-1}+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u_{n-1}+1-1}{u_{n-1}+1}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{u_{n-1}+1}\)
Tới đây ta đặt \(v_n=\dfrac{1}{u_n+1}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_0=\dfrac{1}{u_0+1}=\dfrac{1}{2}\\v_n=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}v_{n-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_0=\dfrac{1}{2}\\v_n-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2}\left(v_{n-1}-\dfrac{1}{3}\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) đặt \(x_n=v_n-\dfrac{1}{3}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\\x_n=-\dfrac{1}{2}x_{n-1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_n=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{-1}{2}\right)^n\) \(\Rightarrow v_n=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{-1}{2}\right)^n=\dfrac{2^{n+1}+\left(-1\right)^n}{3.2^{n+1}}\)
\(\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{v_n}-1=\dfrac{2.2^{n+1}+\left(-1\right)^{n+1}}{2^{n+1}+\left(-1\right)^n}\)
\(\Rightarrow limu_n=lim\dfrac{2.2^{n+1}+\left(-1\right)^{n+1}}{2^{n+1}+\left(-1\right)^n}=lim\dfrac{2+\dfrac{\left(-1\right)^{n+1}}{2^{n+1}}}{1+\dfrac{\left(-1\right)^n}{2^{n+1}}}=\dfrac{2+0}{1+0}=2\)
Giải theo kiểu trắc nghiệm không cần biện luận chặt chẽ:
Dễ dàng nhận thấy \(u_n>0\) \(\forall n\). Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn đó là x>0 \(\Rightarrow u_k\rightarrow x\) với mọi k, hay \(\left\{{}\begin{matrix}u_n=x\\u_{n-1}=x\end{matrix}\right.\)
Thế vào công thức truy hồi: \(x=\dfrac{2}{x}+1\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=2\)
