1: Xét tứ giác MBOC có \(\widehat{MBO}+\widehat{MCO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MBOC là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
\(\widehat{MBD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BM và dây cung BD
\(\widehat{BED}\) là góc nội tiếp chắn cung BD
Do đó: \(\widehat{MBD}=\widehat{BED}\)
Xét ΔMBD và ΔMEB có
\(\widehat{MBD}=\widehat{MEB}\)
\(\widehat{BMD}\) chung
Do đó: ΔMBD~ΔMEB
=>\(\dfrac{MB}{ME}=\dfrac{MD}{MB}\)
=>\(MB^2=ME\cdot MD\left(3\right)\)
Xét (O) có
MB,MC là các tiếp tuyến
Do đó: MB=MC
=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)
ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của BC
=>MO\(\perp\)BC tại H
Xét ΔMOB vuông tại B có HB là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MB^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(MH\cdot MO=MD\cdot ME\)
=>\(\dfrac{MH}{ME}=\dfrac{MD}{MO}\)
Xét ΔMHD và ΔMEO có
\(\dfrac{MH}{ME}=\dfrac{MD}{MO}\)
\(\widehat{HMD}\) chung
Do đó: ΔMHD~ΔMEO
=>\(\widehat{MHD}=\widehat{MEO}\)
=>\(\widehat{OED}+\widehat{OHD}=180^0\)
=>OHDE là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{ODE}=\widehat{OHE}\)
