Question

giúp em với ạaaa
viết phương trình đường tròn (C) có tâm I biết (C) tiếp xúc đường thẳng (Δ) : x + 2y - 8 = 0 tại điểm A có hoành độ = 2 và cắt đường thẳng (d) : 3x - y - 9 = 0 tại 2 điểm B, C sao cho tam giác IBC vuông.

Answer 1

\(A\left(2;3\right)\) \(\Rightarrow\) I thuộc đường thẳng d' qua A vuông góc \(\Delta\)

Phương trình d':

\(2\left(x-2\right)-1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow2x-y-1=0\)

Gọi \(I\left(a;2a-1\right)\) \(\Rightarrow IA=\sqrt{\left(a-2\right)^2+\left(2a-4\right)^2}=\sqrt{5\left(a-2\right)^2}\)

Gọi H là trung điểm BC, do IBC vuông cân tại I \(\Rightarrow IH\perp BC\Rightarrow IH=d\left(I;d\right)\)

Mặt khác IH là trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông cân

\(\Rightarrow IH=\frac{IB\sqrt{2}}{2}=\frac{IA\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow d\left(I;d\right)=\frac{IA\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|3a-\left(2a-1\right)-9\right|}{\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{\sqrt{10\left(a-2\right)^2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|a-8\right|=5\sqrt{\left(a-2\right)^2}=5\left|a-2\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a-8=5a-10\\a-8=10-5a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\frac{1}{2}\\a=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(\frac{1}{2};0\right)\\I\left(3;5\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường tròn thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{45}{4}\\\left(x-3\right)^2+\left(y-5\right)^2=5\end{matrix}\right.\)

Bạn kiểm tra lại tính toán