\(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2m\\4x-my=m+6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2m\\4x-m\left(mx-2m\right)=m+6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2m\\4x-m^2x+2m^2=m+6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2m\left(1\right)\\x\left(4-m^2\right)=m+6-2m^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Nếu \(4-m^2=0\Leftrightarrow m=\pm2\)
- Với \(m=2\),pt \(\left(2\right)\) trở thành \(0x=0\) (luôn đúng)
- Với \(m=-2\),pt \(\left(2\right)\) trở thành \(0x=-4\) (vô lý)
Nếu \(4-m^2\ne0\Leftrightarrow m\ne\pm2\) thì,ta có \(x=\dfrac{2m+3}{m+2}\)
Thay \(x=\dfrac{2m+3}{m+2}\) vào \(\left(1\right)\),ta được:
\(y=m.\dfrac{2m+3}{m+2}-2m\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{2m^2+3m-2m\left(m+2\right)}{m+2}\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{2m^2+3m-2m^2-4m}{m+2}\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{-m}{m+2}\)
Kết luận:
+ Nếu \(m=2\) thì hệ pt có vô số nghiệm
+ Nếu \(m=-2\) thì hệ pt vô nghiệm
+ Nếu \(m\ne\pm2\) thì hệ pt có nghiệm duy nhất
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{2m+3}{m+2};\dfrac{-m}{m+2}\right)\)
Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{4}\ne\dfrac{-1}{-m}\)
=>\(m^2\ne4\)
=>\(m\notin\left\{2;-2\right\}\)
Để hệ có vô số nghiệm thì \(\dfrac{m}{4}=\dfrac{-1}{-m}=\dfrac{2m}{m+6}\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2=4\\m\left(m+6\right)=8m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4=0\\m^2-2m=0\end{matrix}\right.\)
=>m=2
Để hệ vô nghiệm thì \(\dfrac{m}{4}=\dfrac{-1}{-m}\ne\dfrac{2m}{m+6}\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2=4\\m^2+6m\ne8m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{2;-2\right\}\\m^2-2m\ne0\end{matrix}\right.\)
=>m=-2
