Question

giả sử s,b,c là các số dương 

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\) +\(\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\)+\(\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\) >=2

Answer 1

Dấu "=" của BĐT này ko xảy ra đâu em.

Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\sqrt{\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự:

\(\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\) ; \(\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\)

Cộng vế:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c=0\) (ko thỏa mãn a;b;c dương)

Vậy dấu "=" ko xảy ra