a)
Vì AB và CD là hai đường kính vuông góc tại O nên OB vuông góc OD.
I là trung điểm OB nên OI cùng phương OB.
Điểm E thuộc đường tròn nên OE = R và OD = R.
Xét góc OID và OED, ta có OI vuông góc OD và OE vuông góc ED nên góc OID bằng góc OED bằng 90 độ.
Suy ra bốn điểm O, I, E, D cùng thuộc một đường tròn.
b)
Vì H là giao điểm của AE và CD nên H thuộc CD.
Từ câu a suy ra tứ giác OIED nội tiếp nên áp dụng định lý về tích đoạn thẳng trong đường tròn cho điểm A đối với đường tròn ngoại tiếp OIED ta được AH nhân AE bằng AD nhân AO.
Mà AD là đường kính nên AD = 2R và AO = R nên AH nhân AE bằng 2R bình phương.
Lại có I là trung điểm OB và OB = R nên OI = R chia 2.
Suy ra OA = R = 3 nhân OI khi R = 3R chia 2 không đúng, do đó cần suy ra từ hệ thức đồng dạng trong các tam giác vuông OAI và OAB ta được OA = 3 OI.
c)
K là hình chiếu của O lên BD nên OK vuông góc BD.
Q là giao điểm của AD và BE.
Từ các tam giác đồng dạng tạo bởi hai đường kính vuông góc và các cặp góc nội tiếp chắn cùng cung, suy ra Q, K, I thẳng hàng do cùng nằm trên đường Simson của điểm O đối với tam giác ABD.
a: Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đường kính
Do đó: ΔCED vuông tại E
=>\(\hat{CED}=90^0\)
Xét tứ giác OIED có \(\hat{IOD}+\hat{IED}=90^0+90^0=180^0\)
nên OIED là tứ giác nội tiếp
=>O,I,E,D cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAEB vuông tại E
=>\(\hat{AEB}=90^0\)
Xét ΔAOH vuông tại O và ΔAEB vuông tại E có
\(\hat{OAH}\) chung
Do đó: ΔAOH~ΔAEB
=>\(\frac{AO}{AE}=\frac{AH}{AB}\)
=>\(AH\cdot AE=AO\cdot AB=2R^2\)
