Question

Chứng minh với mọi x,y,z dương :

\(\frac{y+z}{x+\sqrt[3]{4\left(y^3+z^3\right)}}+\frac{z+x}{y+\sqrt[3]{4\left(z^3+x^3\right)}}+\frac{x+y}{z+\sqrt[3]{4\left(x^3+y^3\right)}}\le2\)

Answer 1

Xét \(4\left(x^3+y^3\right)-\left(x+y\right)^3=3\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (Vì x,y > 0)

Suy ra \(z+\sqrt[3]{4\left(x^3+y^3\right)}\ge x+y+z\)

Hay \(\frac{x+y}{z+\sqrt[3]{4\left(x^3+y^3\right)}}\le\frac{x+y}{x+y+z}\)

Tương tự : \(\frac{y+z}{x+\sqrt[3]{4\left(y^3+z^3\right)}}\le\frac{y+z}{x+y+z}\)

\(\frac{z+x}{y+\sqrt[3]{4\left(z^3+x^3\right)}}\le\frac{z+x}{x+y+z}\)

Cộng theo vế được đpcm.